2011-2012学年湖北省荆州中学高三第二次质量检查数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合M={（x，y）|x²+y²=1，x，y∈R}，N={x|x²-y=0，x，y∈R}，则M∩N中元素的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

2. 难度：中等

已知函数f（x）=log_a（x+b）的大致图象如图，其中a，b为常数，则函数g（x）=a^x+b的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

如图，在半径为R的圆内随机撒一粒黄豆，它落在阴影部分内接正三角形上的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

w是正实数，函数f（x）=2sinwx在上是增函数，那么（ ）
A．
B．0＜w≤2
C．
D．w≥2

5. 难度：中等

已知{a_n}为等差数列，a₁+a₃+a₅=105，a₂+a₄+a₆=99，以S_n表示{a_n}的前n项和，则使得S_n达到最大值的n是（ ）
A．21
B．20
C．19
D．18

6. 难度：中等

函数y=f（x）是R上的偶函数，且在（-∞，0]上是增函数，若f（a）≤f（2），则实数a的取值范围是（ ）
A．a≤2
B．a≥-2
C．-2≤a≤2
D．a≤-2或a≥2

7. 难度：中等

设函数f（x）=x^m+ax的导函数f′（x）=2x+1，则数列{}（n∈N^*）的前n项和是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知A₁，A₂是椭圆长轴的两个端点，B是它短轴的一个端点，如果与的夹角不小于，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知，与的夹角为，如图所示，若，，且D为BC的中点，则=（ ）

A．
B．
C．7
D．8

10. 难度：中等

用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）•…•（n+n）=2ⁿ•1•3•…•（2n-1）”，当“n从k到k+1”左端需增乘的代数式为（ ）
A．2k+1
B．2（2k+1）
C．
D．

二、解答题

11. 难度：中等

已知直线ax+by+c=0与圆：x²+y²=1相交于A、B两点，且，则=    ．

12. 难度：中等

已知定点A、B，且|AB|=4，动点P满足|PA|-|PB|=3，则|PA|的最小值是    ．

13. 难度：中等

设等比数列{a_n}的公比，前n项和为S_n，则=    ．

14. 难度：中等

已知α、β均为锐角，且cos（α+β）=sin（α-β），则tan α=    ．

15. 难度：中等

函数y=f（x）的图象与直线x=a，x=b及x轴所围成图形的面积称为函数f（x）在[a，b]上的面积，已知函数y=sinnx在[0，]上的面积为（n∈N⁺），则函数y=sin3x在[0，]上的面积为    ．

16. 难度：中等

已知条件p：|5x-1|＞a（a＞0）和条件，请选取适当的实数a的值，分别利用所给的两个条件作为A、B构造命题：“若A则B”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题．则这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的命题．

17. 难度：中等

在△ABC中，已知tanB=，cosC=，AC=3，求△ABC的面积．

18. 难度：中等

已知函数
（1）对任意的x∈[1，+∞），f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；
（2）对任意的x∈[1，+∞），f（x）的值域是[0，+∞），求实数a的取值范围．

19. 难度：中等

如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y=Asinωx（A＞0，ω＞0）x∈[0，4]的图象，且图象的最高点为；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP=120°
（1）求A，ω的值和M，P两点间的距离；
（2）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？

20. 难度：中等

已知点A是抛物线y²=2px（p＞0）上一点，F为抛物线的焦点，准线l与x轴交与点K，已知|AK|=|AF|，三角形AFK的面积等于8．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）过该抛物线的焦点作两条互相垂直的直线l₁，l₂，与抛物线相交得两条弦，两条弦的中点分别为G，H．求|GH|的最小值．

21. 难度：中等

已知函数
（1）若函数f（x）有三个零点x₁，x₂，x₃，且，且a＞0，求函数f（x）的单调区间；
（2）若，且3a＞2c＞2b，试问：导函数f^′（x）在区间（0，2）内是否有零点，并说明理由．