2011-2012学年湖北省孝感市高三第一次统考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知i是虚数单位，等于（ ）
A．-1
B．1
C．i
D．-i

2. 难度：中等

已知集合A{x|x＜-1或x＞1}，B={log₂x＞0}，则A∩B=（ ）
A．{x|x＞1}
B．{x|x＞0}
C．{x|x＜-1}
D．{x|x＜-1或x＞1}

3. 难度：中等

已知命题p：∃x∈R，使；命题q：∀x∈R，都有x²+x+1＞0．下列结论：
①命题“p∧q”是真命题
②命题“￢pⅤq”是真命题
③命题“￢pⅤ￢q”是假命题
④命题“p∧￢q”是假命题
其中正确的是（ ）
A．②③
B．②④
C．③④
D．①②③

4. 难度：中等

已知非零向量，，满足++=0，向量，的夹角为60°，且||=||，则向量与的夹角为（ ）
A．60°
B．30°
C．120°
D．150°

5. 难度：中等

已知抛物线y²=8x的焦点与双曲线的一个焦点重合，则该双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．3

6. 难度：中等

已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．2
B．4
C．
D．

7. 难度：中等

函数f（x）=的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为（ ）
A．
B．2
C．3
D．4

8. 难度：中等

如图是某同学为求1006个偶数：2，4，6，…，2012的平均数而设计的程序框图的部分内容，则在该程序框图中的空白判断框和处理框中应填入的内容依次是（ ）

A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

如图，在A、B间有四个焊接点，若焊接点脱落，而可能导致电路不通，如今发现A、B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有（ ）

A．10
B．12
C．13
D．15

10. 难度：中等

设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）单调递减，若数列{a_n}是等差数列，且a₃＜0，则f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+f（a₄）+f（a₅）的值（ ）
A．恒为正数
B．恒为负数
C．恒为0
D．可正可负

二、解答题

11. 难度：中等

的展开式中x³的系数为    ．

12. 难度：中等

如图，150辆汽车通过某路段时速度的频率分布直方图，则速度在[60，70）内的汽车大约有    辆．

13. 难度：中等

图2中实线围成的部分是长方体（图1）的平面展开图，其中四边形ABCD是边长为1的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是，则此长方体的体积是    ．

14. 难度：中等

已知向量=（3，-2），=（x，y-1），若∥，则4^x+8^y的最小值为    ．

15. 难度：中等

对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），定义：设f″（x）是函数y=f（x）的导数y=f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x，则称点（x，f（x））为函数y=f（x）的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现为条件，求
（1）函数f（x）=x³-3x²+3x对称中心为    ．
（2）若函数g（x）=x³-x²+3x-+，则g（）+g（）+g（）+g（）+…+g（）=    ．

16. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知向量=，=，=-1，
（Ⅰ） 求cosA的值；
（Ⅱ） 若，b=2，求c的值．

17. 难度：中等

如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E，F，G分别为PC、PD、BC的中点．
（1）求证：PA⊥EF；
（2）求二面角D-FG-E的余弦值．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=+aln（x+1）
（I）当a=2时，求f（x）的单调区间和极值；
（II）若f（x）在[2，4]上为单调函数，求实数a的取值范围．

19. 难度：中等

某公司生产一种产品，每年需投入固定成本0.5万元，此外每生产1百件这样的产品，还需增加投入0.25万元，经市场调查知这种产品年需求量为5百件，产品销售数量为t（百件）时，销售所得的收入为万元．
（1）该公司这种产品的年生产量为x百件，生产并销售这种产品所得到的利润关于当年产量x的函数为f（x），求f（x）．
（2）当该公司的年产量为多少件时，当年所获得的利润最大．

20. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=2，点（S_n+1，S_n）在直线-=1，其中n∈N^*
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）设T_n=+-2，证明：≤T₁+T₂+T₃+…+Tn＜3．

21. 难度：中等

如图，曲线C₁是以原点O为中心，F₁，F₂为焦点的椭圆的一部分．曲线C₂是以O为顶点，F₂为焦点的抛物线的一部分，A是曲线C₁和C₂的交点且∠AF₂F₁为钝角，若|AF₁|=，|AF₂|=．
（I）求曲线C₁和C₂的方程；
（II）设点C是C₂上一点，若|CF₁|=|CF₂|，求△CF₁F₂的面积．