2012年江苏省高考数学全真模拟试卷（8）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

i是虚数单位，复数的虚部是    ．

2. 难度：中等

抛物线y=4x²的焦点到准线的距离为    ．

3. 难度：中等

已知等比数列{a_n}中，各项都是正数，且a₁，成等差数列，则=    ．

4. 难度：中等

已知集合A={x|x＞5}，集合B={x|x＞a}，若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是    ．

5. 难度：中等

某地为了调查职业满意度，决定用分层抽样的方法从公务员、教师、自由职业者三个群体的相关人员中，抽取若干人组成调查小组，有关数据见下表，若从调查小组中的公务员和教师中随机选2人撰写调查报告，则其中恰好有1人来自公务员的概率为   

	相关人员数	抽取人数
公务员	32	x
教师	48	y
自由职业者	64	4

6. 难度：中等

已知函数f（x）=，则不等式f（x）≤2的解集是    ．

7. 难度：中等

若某程序框图如所示，则该程序运作后输出的y等于    ．

8. 难度：中等

函数f（x）=2sin（ωx+φ）（其中ω＞0，）的图象如图所示，若点A是函数f（x）的图象与x轴的交点，点B、D分别是函数f（x）的图象的最高点和最低点，点C是点B在x轴上的射影，则=    ．

9. 难度：中等

如图，在棱长为5的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，EF是棱AB上的一条线段，且EF=2，Q是A₁D₁的中点，点P是棱C₁D₁上的动点，则四面体PQEF的体积为    ．

10. 难度：中等

如图，是二次函数f（x）=x²-bx+a的部分图象，函数g（x）=lnx+f′（x）的零点所在的区间是，则整数k=    ．

11. 难度：中等

设a₁，a₂，…，a₅₀是从-1，0，1这三个整数中取值的数列，若a₁+a₂+…+a₅₀=9，且（a₁+1）²+（a₂+1）²+…+（a₅₀+1）²=107，则a₁，a₂，…，a₅₀中数字0的个为    ．

12. 难度：中等

设a是实数．若函数f（x）=|x+a|-|x-1|是定义在R上的奇函数，但不是偶函数，则函数f（x）的递增区间为    ．

13. 难度：中等

已知椭圆的左焦点F₁，O为坐标原点，点P在椭圆上，点Q在椭圆的右准线上，若则椭圆的离心率为    ．

14. 难度：中等

函数f（x）满足，且x₁，x₂均大于e，f（x₁）+f（x₂）=1，则f（x₁x₂）的最小值为    ．

15. 难度：中等

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=2AA₁，∠BAA₁=∠CAA₁=60°，D，E分别为AB，A₁C中点．
（1）求证：DE∥平面BB₁C₁C；
（2）求证：BB₁⊥平面A₁BC．

16. 难度：中等

已知=（1+cosα，sinα），=（1-cosβ，sinβ），，α∈（0，π），β∈（π，2π），向量与夹角为θ₁，向量与夹角为θ₂，且θ₁-θ₂=，若△ABC中角A、B、C的对边分别为a、b、c，且角A=β-α．
求（Ⅰ）求角A 的大小； 
（Ⅱ）若△ABC的外接圆半径为，试求b+c取值范围．

17. 难度：中等

如图，海岸线MAN，∠A=2θ，现用长为l的拦网围成一养殖场，其中B∈MA，C∈NA．
（1）若BC=l，求养殖场面积最大值；
（2）若B、C为定点，BC＜l，在折线MBCN内选点D，使BD+DC=l，求四边形养殖场DBAC的最大面积；
（3）若（2）中B、C可选择，求四边形养殖场ACDB面积的最大值．

18. 难度：中等

给定椭圆，称圆心在坐标原点x∈[2，6]，半径为的圆是椭圆m的“伴随圆”． 若椭圆C的一个焦点为，其短轴上的一个端点到F₂距离为．
（Ⅰ）求椭圆C及其“伴随圆”的方程；
（Ⅱ）若过点P（0，m）（m＜0）的直线l与椭圆C只有一个公共点，且l截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为，求m的值；
（Ⅲ）过椭圆C“伴椭圆”上一动点Q作直线l₁，l₂，使得l₁，l₂与椭圆C都只有一个公共点，试判断直线l₁，l₂的斜率之积是否为定值，并说明理由．

19. 难度：中等

设首项为a₁的正项数列{a_n}的前n项和为S_n，q为非零常数，已知对任意正整数n，m，S_n+m=S_m+q^mS_n总成立．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}是等比数列；
（Ⅱ）若不等的正整数m，k，h成等差数列，试比较a_m^m•a_h^h与a_k^2k的大小；
（Ⅲ）若不等的正整数m，k，h成等比数列，试比较与的大小．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）满足f（0）=0，对于任意x∈R都有f（x）≥x，且，令g（x）=f（x）-|λx-1|（λ＞0）．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）求函数g（x）的单调区间；
（3）研究函数g（x）在区间（0，1）上的零点个数．

21. 难度：中等

如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC，DE交AB于点F．求证：△PDF∽△POC．

22. 难度：中等

选修4-2 矩阵与变换
已知矩阵．
（1）求逆矩阵A^-1；
（2）若矩阵X满足，试求矩阵X．

23. 难度：中等

已知极坐标系的极点O与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C₁：与曲线C₂：（t∈R）交于A、B两点．求证：OA⊥OB．

24. 难度：中等

已知x，y，z均为正数．求证：．

25. 难度：中等

已知（x+1）ⁿ=a+a₁（x-1）+a₂（x-1）+a₃（x-1）³+…+a_n（x-1）ⁿ，（其中n∈N^*）
（1）求a及；
（2）试比较S_n与（n-2）2ⁿ+2n²的大小，并说明理由．

26. 难度：中等

设顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线过点P（2，4），过P作抛物线的动弦PA，PB，并设它们的斜率分别为k_PA，k_PB．
（1）求抛物线的方程；
（2）若k_PA+k_PB=0，求证直线AB的斜率为定值，并求出其值；
（3）若k_PA•k_PB=1，求证直线AB恒过定点，并求出其坐标．