2012年上海市浦东新区高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+1（x≥0）的反函数为f^-1（x），则f^-1（5）=    ．

2. 难度：中等

椭圆的焦点坐标为    ．

3. 难度：中等

方向向量为，且过点A（1，1）的直线l的方程是    ．

4. 难度：中等

若，则实数a的取值范围是    ．

5. 难度：中等

某个线性方程组的增广矩阵是，此方程组的解记为（a，b），则行列式的值是    ．

6. 难度：中等

某校师生共1200人，其中学生1000人，教师200人．为了调查师生的健康状况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为60的样本，应抽取学生人数为    ．

7. 难度：中等

若的二项展开式中x³的系数为-84，则实数a=    ．

8. 难度：中等

已知向量，，若，则θ=    ．

9. 难度：中等

从集合{1，2，3，4，5}中随机选取一个a，从{1，2，3}中随机选一个数b，则a≥b的概率为    ．

10. 难度：中等

已知函数f（x）=1+log_a（x-1）（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，又点P的坐标满足方程mx+ny=1，则mn的最大值为    ．

11. 难度：中等

已知正三棱锥O-ABC的底面边长为1，且侧棱与底面所成的角为60°，则此三棱锥的体积为    ．

12. 难度：中等

已知函数；当x∈[-3，-1]时，记f（x）的最大值为m，最小值为n，则m+n=    ．

13. 难度：中等

函数f（x）=sinⁿx+cosⁿx（n∈N^*，n≠2，x∈R）的最小正周期为    ．

14. 难度：中等

若X是一个非空集合，M是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：
①X∈M、∅∈M；
②对于X的任意子集A、B，当A∈M且B∈M时，有A∪B∈M；
③对于X的任意子集A、B，当A∈M且B∈M时，A∩B∈M；
则称M是集合X的一个“M-集合类”．
例如：M={∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}是集合X={a，b，c}的一个“M-集合类”．已知集合X={a，b，c}，则所有含{b，c}的“M-集合类”的个数为    ．

二、选择题

15. 难度：中等

“x＞1”是“π^x＞1”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件

16. 难度：中等

l₁，l₂，l₃是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）
A．l₁⊥l₂，l₂⊥l₃⇒l₁∥l₃
B．l₁⊥l₂，l₂∥l₃⇒l₁⊥l₃
C．l₁∥l₂∥l₃⇒l₁，l₂，l₃共面
D．l₁，l₂，l₃共点⇒l₁，l₂，l₃共面

17. 难度：中等

动点P从点（1，0）出发，在单位圆上逆时针旋转α角，到点M（-，），已知角β的始边在x轴的正半轴，顶点为（0，0），且终边与角α的终边关于x轴对称，则下面结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．

18. 难度：中等

已知共有k（k∈N^*）项的数列{a_n}，a₁=2，定义向量、（n=1，2，3，…，k-1），若，则满足条件的数列{a_n}的个数为（ ）
A．2
B．k
C．2^k-1
D．

三、解答题

19. 难度：中等

设复数z满足|z|=，且（1+2i）z（i是虚数单位）在复平面上对应的点在直线y=x上，求z．

20. 难度：中等

如图所示的几何体，是将高为2、底面半径为1的圆柱沿过旋转轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后形成的封闭体．分别为AB，BC，DE的中点，F为弧AB的中点，G为弧BC的中点．
（1）求这个几何体的表面积；
（2）求异面直线AF与所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）．

21. 难度：中等

△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知cosA=，a=．
（1）当B=时，求b的值；
（2）设B=x（0＜x），求函数f（x）=b+4的值域．

22. 难度：中等

设满足条件P：的数列组成的集合为A，而满足条件Q：的数列组成的集合为B．
（1）判断数列{a_n}：a_n=1-2n和数列{b_n}：是否为集合A或B中的元素？
（2）已知数列，研究{a_n}是否为集合A或B中的元素；若是，求出实数k的取值范围；若不是，请说明理由．
（3）已，若{a_n}为集合B中的元素，求满足不等式|2n-a_n|＜60的n的值组成的集合．

23. 难度：中等

如图所示，在平面直角坐标系xOy上放置一个边长为1的正方形PABC，此正方形PABC沿x轴滚动（向左或向右均可），滚动开始时，点P位于原点处，设顶点P（x，y）的纵坐标与横坐标的函数关系是y=f（x），x∈R，该函数相邻两个零点之间的距离为m．
（1）写出m的值并求出当0≤x≤m时，点P运动路径的长度l；
（2）写出函数f（x），x∈[4k-2，4k+2]，k∈Z的表达式；研究该函数的性质并填写下面表格：

函数性质	结  论
奇偶性	______
递增区间	______
递减区间	______
零点	______

（3）试讨论方程f（x）=a|x|在区间[-8，8]上根的个数及相应实数a的取值范围．