2011-2012学年江苏省无锡市天一中学高三（下）4月月考数学试卷（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

设集合A={x|x²+x-12＜0}，B={x|2-x＜0}，则A∩B=    ．

2. 难度：中等

如果复数（m²+i）（1+mi）是实数，则实数m=    ．

3. 难度：中等

若命题“∃x∈R，使得x²+（a-1）x+1≤0”为假命题，则实数a的范围    ．

4. 难度：中等

某算法的程序框图如图，若输入a=4，b=2，c=6，则输出的结果为    ．

5. 难度：中等

把一根均匀木棒随机地按任意点拆成两段，则“其中一段长度大于另一段长度2倍”的概率为    ．

6. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若1+=，则角A的大小为    ．

7. 难度：中等

已知||=3，||=4，（+）•（+3）=33，则与的夹角为    ．

8. 难度：中等

已知双曲线C：-=1（a＞0，b＜0）的右顶点、右焦点分别为A、F，它的左准线与x轴的交点为B，若A是线段BF的中点，则双曲线C的离心率为    ．

9. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²-7n，且满足16＜a_k+a_k+1＜22，则正整数k=    ．

10. 难度：中等

在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，四面体ACB₁D₁的体积为    ．

11. 难度：中等

y=x³+ax+1的一条切线方程为y=2x+1，则a=    ．

12. 难度：中等

已知函数若函数g（x）=f（x）-m有3个零点，则实数m的取值范围是    ．

13. 难度：中等

当时，恒成立，则实数a的取值范围是    ．

14. 难度：中等

（理）已知△ABC三边a，b，c的长都是整数，且a≤b≤c，如果b=m（m∈N*），则这样的三角形共有    个（用m表示）．

15. 难度：中等

设函数f（x）=a•b，其中向量a=（m，cos2x），b=（1+sin2x，1），x∈R，且y=f（x）的图象经过点（，2）．
（1）求实数m的值；
（2）求f（x）的最小正周期．
（3）求f（x）在[0，]上的单调增区间．

16. 难度：中等

如图，平行四边形ABCD中，BD⊥CD，正方形ADEF所在的平面和平面ABCD垂直，H是BE的中点，G是AE，DF的交点．
（1）求证：GH∥平面CDE；
（2）求证：BD⊥平面CDE．

17. 难度：中等

如图，在半径为30cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上．
（1）怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大？并求最大面积；
（2）若将所截得的矩形铝皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），应怎样截取，才能使做出的圆柱形形罐子体积最大？并求最大面积．

18. 难度：中等

已知圆C：x²+y²+2x-4y+3=0．
（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；
（2）从圆C外一点P（x₁，y₁）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}的首项，．
（1）求证：数列为等比数列；
（2）记，若S_n＜100，求最大的正整数n．
（3）是否存在互不相等的正整数m，s，n，使m，s，n成等差数列且a_m-1，a_s-1，a_n-1成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

已知二次函数g（x）对任意实数x都满足g（x-1）+g（1-x）=x²-2x-1，且g（1）=-1．令．
（1）求g（x）的表达式；
（2）若∃x＞0使f（x）≤0成立，求实数m的取值范围；
（3）设1＜m≤e，H（x）=f（x）-（m+1）x，证明：对∀x₁，x₂∈[1，m]，恒有|H（x₁）-H（x₂）|＜1．