2011-2012学年安徽省省城名校高三第四次联考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若复数（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（ ）
A．-8
B．-6
C．．3
D．7

2. 难度：中等

已知集合A={x|x²-3x≤0}，B={y|y=-x²+2，x∈[-2，-1]}，则A∩B=（ ）
A．[-2，3]
B．[0，1]
C．[-2，1]
D．[0，2]

3. 难度：中等

已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l⊂β，给出下列命题：
①若α∥β，则m⊥l；
②若α⊥β，则m∥l；
③若m⊥l，则α∥β
④若m∥l，则α⊥β
其中正确命题的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

4. 难度：中等

若对所有正数x、y，不等式都成立，则a的最大值是（ ）
A．1
B．
C．2
D．4

5. 难度：中等

在底面直径和高均为a的圆锥内作一内接圆柱，则该内接圆柱的最大体积为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

若实数x，y满足，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．[-2，-1]
D．[-2，0]

7. 难度：中等

设f（x），g（x）是定义在R上的恒不为零的函数，对任意x，y∈R，都有f（x）f（y）=f（x+y），g（x）+g（y）=g（x+y），若，且，则数列{a_nb_n}的前n项和为S_n为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

若非零向量的夹角为，且，则的夹角为（ ）
A．0
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知函数f（x）的图象与函数的图象关于点A（0，1）对称，若，且g（x）在区间（0，2]上为减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．[3，+∞）
B．[2，+∞）
C．（0，3]
D．（0，2]

10. 难度：中等

在正三棱锥ABC-A₁B₁C₁中，已知M为底面△ABC内（含边界）一动点，且点M到三个侧面ABB₁A₁、BCC₁B₁、ACC₁A₁的距离成等差数列，则点M的轨迹是（ ）
A．一条线段
B．椭圆的一部分
C．双曲线的一部分
D．抛物线的一部分

二、解答题

11. 难度：中等

函数在区间上的最大值是    ．

12. 难度：中等

如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积为    ．

13. 难度：中等

设a＞0，集合A={（x，y）|}，B={（x，y）|（x-1）²+（y-1）²≤a²}．若点P（x，y）∈A是点P（x，y）∈B的必要不充分条件，则a的取值范围是    ．

14. 难度：中等

棱长相等的正八面体和正四面体外接球表面积之比为    ．

15. 难度：中等

数列{a_n}是正项等差数列，若，则数列{b_n}也为等差数列，类比上述结论，写出正项等比数列{c_n}，若d_n=    则数列{d_n}也为等比数列．

16. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=3acosB-ccosB．
（I）求cosB的值；
（II）若，且，求a和c的值．

17. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，，D、E、M分别为棱AB、BC、AA₁的中点．
（1）求证：A₁B₁⊥C₁D；
（2）求点C到平面MDE的距离．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-mx在[1，+∞）上是单调函数．
（1）求实数m的取值范围；
（2）设向量，求满足不等式的α的取值范围．

19. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，PC=2，底面四边形ABCD为直角梯形，∠B=∠C=90°，AB=4，CD=1，侧棱PB与底面ABCD成30°角，点M是PB上的动点，且（λ∈[0，1]）．
（1）若CM∥平面PAD，求λ的值；
（2）当λ为何值时，CM与平面PAD所成的角最大？并求出最大角的正弦值．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=（x-a）²e^x（a≠0）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）设函数g（x）=f'（x）-f（x），若函数g（x）在x=a处的切线与x轴交于A点．与y轴交于B点，求△ABO的面积．

21. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₂=3，2S_n-na_n-n=0（n∈N^*））
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记，求证：当n∈N^*时，．