2012年江苏省南通市教研室高考数学全真模拟试卷（一）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知集合U={1，3，5，9}，A={1，3，9}，B={1，9}，则C_U（A∪B）=    ．

2. 难度：中等

若（其中表示复数z的共轭复数），则复数z的模为    ．

3. 难度：中等

已知函数在x=1处的导数为-2，则实数a的值是    ．

4. 难度：中等

根据国家质量监督检验检疫局发布的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》（GB19522-2004）中规定车辆驾驶人员血液酒精含量：“饮酒驾车”的临界值为20mg/100ml；“醉酒驾车”的临界值为80mg/100ml．某地区交通执法部门统计了5月份的执法记录数据：

血液酒精含量（单位：mg/100ml）	0～20	20～40	40～60	60～80	80～100
人数	180	11	5	2	2

血液酒精含量（单位：mg/100ml）根据此数据，可估计该地区5月份“饮酒驾车”发生的频率等于    ．

5. 难度：中等

要得到函数y=sin2x的函数图象，可将函数的图象向右至少平移    个单位．

6. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，“直线y=x+b，b∈R与曲线相切”的充要条件是    ．

7. 难度：中等

如图，N_i表示第i个学生的学号，G_i表示第i个学生的成绩，已知学号在1～10的学生的成绩依次为401、392、385、359、372、327、354、361、345、337，则打印出的第5组数据是    ．

8. 难度：中等

在△ABC中，若tanA：tanB：tanC=1：2：3，则A=    ．

9. 难度：中等

已知y=f（x）是R上的奇函数，且x＞0时，f（x）=1，则不等式f（x²-x）＜f（0）的解集为    ．

10. 难度：中等

已知正四棱锥的侧棱长为1，则其体积的最大值为    ．

11. 难度：中等

已知平面向量，，满足||=1，||=2，，的夹角等于，且（-）•（-）=0，则||的取值范围是    ．

12. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，过点A₁（x₁，0）、A₂（x₂，0）分别作x轴的垂线与抛物线x²=2y分别交于点，直线与 x轴交于点A₃（x₃，0），这样就称x₁、x₂确定了x₃．同样，可由x₂、x₃确定x₄，…，若x₁=2，x₂=3，则x₅=    ．

13. 难度：中等

定义：min{x，y}为实数x，y中较小的数．已知，其中a，b 均为正实数，则h的最大值是    ．

14. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，直角三角形ABC的三个顶点都在椭圆上，其中A（0，1）为直角顶点．若该三角形的面积的最大值为，则实数a的值为    ．

15. 难度：中等

已知函数．
（1）求f（x）的最小正周期和值域；
（2）若x=x为f（x）的一个零点，求sin2x的值．

16. 难度：中等

如图，在边长为1的菱形ABCD中，将正三角形BCD沿BD向上折起，折起后的点C记为C′，且CC′=a（）．
（1）若，求二面角C-BD-C′的大小；
（2）当a变化时，线段CC′上是否总存在一点E，使得AC′∥平面BED？请说明理由．

17. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，设A、B是双曲线上的两点，M（1，2）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点．
（1）求直线AB与CD的方程；
（2）判断A、B、C、D四点是否共圆？若共圆，请求出圆的方程；若不共圆，请说明理由．

18. 难度：中等

某省高考数学阅卷点共有400名阅卷老师，为了高效地完成文、理科数学卷的阅卷任务，需将400名阅卷老师分成两组同时展开阅卷工作，一组完成269捆文科卷，另一组完成475捆理科卷．根据历年阅卷经验，文科每捆卷需要一位阅卷老师工作3天完成，理科每捆卷需要一位阅卷老师工作4天完成．（假定每位阅卷老师工作一天的阅卷量相同，每捆卷的份数也相同）
（1）如何安排文、理科阅卷老师的人数，使得全省数学阅卷时间最省？
（2）由于今年理科阅卷任务较重，理科实际每捆卷需要一位阅卷老师工作4.5天完成，在按（1）分配的人数阅卷4天后，阅卷领导小组决定从文科组抽调20名阅卷老师去阅理科卷，试问完成全省数学阅卷任务至少需要多少天？（天数精确到小数点后第3位）
（参考数据：，，，）

19. 难度：中等

已知函数f（x）的导函数f'（x）是二次函数，且f'（x）=0的两根为±1．若f（x）的极大值与极小值之和为0，f（-2）=2．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数在开区间（m-9，9-m）上存在最大值与最小值，求实数m的取值范围．
（3）设函数f（x）=x•g（x），正实数a，b，c满足ag（b）=bg（c）=cg（a）＞0，证明：a=b=c．

20. 难度：中等

设首项为1的正项数列{a_n}的前n项和为S_n，数列的前n项和为T_n，且，其中p为常数．
（1）求p的值；
（2）求证：数列{a_n}为等比数列；
（3）证明：“数列a_n，2^xa_n+1，2^ya_n+2成等差数列，其中x、y均为整数”的充要条件是“x=1，且y=2”．

21. 难度：中等

选作题，本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．（几何证明选讲）
如图，AB是半圆的直径，C是AB延长线上一点，CD切半圆于点D，CD=2，DE⊥AB，垂足为E，且E是OB的中点，求BC的长．
B．（矩阵与变换）
已知矩阵的属于特征值b的一个特征向量为，求实数a、b的值．
C．（极坐标与参数方程）
在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，-2）在曲线（t为参数，p为正常数），求p的值．
D．（不等式选讲）
设a₁，a₂，a₃均为正数，且a₁+a₂+a₃=1，求证：．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=2（1+x）ln（1+x）-x²-2x，x∈[0，+∞），求f（x）的最大值．

23. 难度：中等

（1）已知k、n∈N^*，且k≤n，求证：；
（2）设数列a，a₁，a₂，…满足a≠a₁，a_i-1+a_i+1=2a_i（i=1，2，3，…）．证明：对任意的正整数n，是关于x的一次式．