2011-2012学年浙江省台州中学高三（下）第二次统练数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U=R，集合A={x|x+1＜0}，B={x|x-3＜0}，那么集合（C_UA）∩B=（ ）
A．{x|-1≤x＜3}
B．{x|-1＜x＜3}
C．{x|x＜-1}
D．{x|x＞3}

2. 难度：中等

已知x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（ ）
A．3
B．-3
C．1
D．

3. 难度：中等

设x，y是两个实数，则“x，y中至少有一个数大于1”是“x²+y²＞2”成立的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充分必要条件
D．既非充分又非必要条件

4. 难度：中等

等差数列{a_n}中，a₃+a₅+a₇+a₉+a₁₁=20，则=（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

5. 难度：中等

如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数“互为生成”函数，给出下列函数：①f（x）=sinx-cosx，②f（x）=（sinx+cosx），③f（x）=sinx+2，④f（x）=sinx，其中互为生成的函数是（ ）
A．①②
B．①③
C．③④
D．②④

6. 难度：中等

已知直线l⊥平面α，直线m∥平面β，下列命题中正确的是（ ）
A．α⊥β⇒l⊥m
B．α⊥β⇒l∥m
C．l⊥m⇒α∥β
D．l∥m⇒α⊥β

7. 难度：中等

△ABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，且，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

定义域为R的函数f（x）对任意x∈R都有f（x）=f（4-x），且其导函数f′（x）满足（x-2）f′（x）＞0，则当2＜a＜4时，有（ ）
A．f（2^a）＜f（2）＜f（log₂a）
B．f（2）＜f（2^a）＜f（log₂a）
C．
D．

9. 难度：中等

设复数，则下列各式错误的是（ ）
A．ω³=1
B．ω²+ω=-1
C．ω²-ω=-1
D．ω²-ω是纯虚数

10. 难度：中等

设双曲线C：（b＞a＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂．若在双曲线的右支上存在一点P，使得|PF₁|=3|PF₂|，则双曲线C的离心率e的取值范围为（ ）
A．（1，2]
B．
C．
D．（1，2）

二、解答题

11. 难度：中等

设函数f（x）=ln（ax²+1）．若f（x）=lnax有唯一的零点x（x∈R），则实数a=    ．

12. 难度：中等

若存在直线l平行于直线3x-ky+6=0，且与直线kx+y+1=0垂直，则实数k=    ．

13. 难度：中等

假设一个四棱锥的正视图和侧视图为两个完全相同的等腰直角三角形（如图所示），腰长为1，则该四棱锥的体积为    ．

14. 难度：中等

a_n=6n-4（n=1，2，3，4，5，6）构成集合A，（n=1，2，3，4，5，6）构成集合B，任取x∈A∪B，则x∈A∩B的概率是    ．

15. 难度：中等

已知sinα+cosα=，0＜α＜π，则tanα=    ．

16. 难度：中等

设椭圆C：，F是右焦点，l是过点F的一条直线（不与y轴平行），交椭圆于A、B两点，l′是AB的中垂线，交椭圆的长轴于一点D，则的值是    ．

17. 难度：中等

若不等式对任意的实数x＞0，y＞0恒成立，则实数a的最小值为    ．

18. 难度：中等

已知向量与 共线，设函数y=f（x）．
（1）求函数f（x）的周期及最大值；
（2）已知锐角△ABC中的三个内角分别为A、B、C，若有，边BC=，，求△ABC的面积．

19. 难度：中等

如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，∠BAC=30°，BM⊥AC交AC于点M，EA⊥平面ABC，FC∥EA，AC=4，EA=3，FC=1．
（1）证明：EM⊥BF；
（2）求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．

20. 难度：中等

数列{a_n}满足a_n+1+a_n=4n-3（n∈N^*）
（Ⅰ）若{a_n}是等差数列，求其通项公式；
（Ⅱ）若{a_n}满足a₁=2，S_n为{a_n}的前n项和，求S_2n+1．

21. 难度：中等

设椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合，F₁，F₂分别是椭圆的左、右焦点，且离心率且过椭圆右焦点F₂的直线l与椭圆C交于M、N两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在直线l，使得．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
（3）若AB是椭圆C经过原点O的弦，MN∥AB，求证：为定值．

22. 难度：中等

设x₁、x₂（x₁≠x₂）是函数f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的两个极值点．
（I）若x₁=-1，x₂=2，求函数f（x）的解析式；
（II）若 ，求b的最大值；
（III）设函数g（x）=f′（x）-a（x-x₁），x∈（x₁，x₂），当x₂=a时，求|g（x）|的最大值．