2012年江苏省南通市教研室高考数学全真模拟试卷（二）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知i为虚数单位，则=    ．

2. 难度：中等

在区间[-1，2]内随机选取一个实数，则该数为正数的概率是    ．

3. 难度：中等

对某种电子元件使用寿命跟踪调查，所得样本频率分布直方图如图，若一批电子元件中寿命在100～300小时的电子元件的数量为400，则寿命在500～600小时的电子元件的数量为    ．

4. 难度：中等

设定义在区间上的函数y=sin2x的图象与图象的交点横坐标为α，则tanα的值为    ．

5. 难度：中等

运行如图所示的流程图，则输出的结果S是    ．

6. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a²，b²，c²成等差数列，则cosB的最小值为    ．

7. 难度：中等

若定义在R上的函数（a为常数）满足f（-2）＞f（1），则f（x）的最小值是    ．

8. 难度：中等

已知双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点为、，点P是第一象限内双曲线上的点，且，tan∠PF₂F₁=-2，则双曲线的离心率为    ．

9. 难度：中等

已知函数y=e^x的图象在点处的切线与x轴的交点的横坐标为a_k+1，其中k∈N^*，a₁=0，则a₁+a₃+a₅=    ．

10. 难度：中等

如图，在6×6的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量、、满足=x+y（x，y∈R），则x+y=    ．

11. 难度：中等

记S_k=1^k+2^k+3^k+…+n^k，当k=1，2，3，…时，观察下列等式：S₁=n，S₂=n，S₃=，S₄=n，S₅=An⁶+，…可以推测，A-B=    ．

12. 难度：中等

有一个各条棱长均为a的正四棱锥，现用一张正方形包装纸将其完全包住，不能剪裁，但可以折叠，则包装纸的最小边长是    ．

13. 难度：中等

定义在[1，+∞）上的函数f（x）满足：①f（2x）=2f（x）；②当x∈[2，4]时，f（x）=1-|x-3|，则集合{x|f（x）=f（36）}中的最小元素是    ．

14. 难度：中等

已知关于x的实系数一元二次不等式ax²+bx+c≥0（a＜b）的解集为R，则的最小值是    ．

15. 难度：中等

已知集合A={x||x-1|≤3}，B={x|x²-（2m-3）x+m²-3m≤0，m∈R}
（1）若A∩B={x|2≤x≤4}，求实数m的值；
（2）设全集为R，若A⊆C_RB，求实数m的取值范围．

16. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，BC⊥CD，且BC=2AD．
（1）若点E为线段PC的中点，求证：DE∥平面PAB；
（2）若二面角P-BC-A的大小为，求证：平面PAB⊥平面PBC．

17. 难度：中等

如图，点P在△ABC内，AB=CP=2，BC=3，∠P+∠B=π，记∠B=α．
（1）试用α表示AP的长；
（2）求四边形ABCP的面积的最大值，并写出此时α的值．

18. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，已知圆C₁：（x-1）²+y²=16，圆C₂：（x+1）²+y²=1，点S为圆C₁上的一个动点，现将坐标平面折叠，使得圆心C₂（-1，0）恰与点S重合，折痕与直线SC₁交于点P．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）过动点S作圆C₂的两条切线，切点分别为M、N，求MN的最小值；
（3）设过圆心C₂（-1，0）的直线交圆C₁于点A、B，以点A、B分别为切点的两条切线交于点Q，求证：点Q在定直线上．

19. 难度：中等

已知整数列{a_n}满足a₃=-1，a₇=4，前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求出所有的正整数m，使得a_m+a_m+1+a_m+2=a_ma_m+1a_m+2．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=x²，g（x）=alnx，a∈R．
（1）若∃x≥1，f（x）＜g（x），求实数a的取值范围；
（2）证明：“方程f（x）-g（x）=ax（a＞0）有唯一解”的充要条件是“a=1”．

21. 难度：中等

（几何证明选讲）如图，以正方形ABCD的顶点C为圆心，CA为半径的圆交BC的延长线于点E、F，且点B为线段CG的中点．求证：GE•GF=2BE•BF．

22. 难度：中等

（矩阵与变换）若直线y=kx在矩阵对应的变换作用下得到的直线过点P（4，1），求实数k的值．

23. 难度：中等

（极坐标与参数方程）在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ＜2π）中，求曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=1的交点Q的极坐标．

24. 难度：中等

（不等式选讲）设a，b为互不相等的正实数，求证：4（a³+b³）＞（a+b）³．

25. 难度：中等

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，，．
（1）若，求直线PB与PD所成角的正弦值；
（2）是否存在实数λ，使得直线A₁C⊥平面PBD？并说明理由．

26. 难度：中等

我们知道，对一个量用两种方法分别算一次，由结果相同可以构造等式，这是一种非常有用的思想方法--“算两次”（G．Fubini原理），如小学有列方程解应用题，中学有等积法求高…
请结合二项式定理，利用等式（1+x）ⁿ•（1+x）ⁿ=（1+x）²ⁿ（n∈N^*）
证明：
（1）；  
（2）．