2012年江苏省南通市教研室高考数学全真模拟试卷（四）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知数集M={-1，0，x-2}中有3个元素，则实数x不能取的值构成的集合为    ．

2. 难度：中等

在△ABC中，AB=1，AC=，，则∠ACB=    ．

3. 难度：中等

=    ．

4. 难度：中等

豌豆的高矮性状的遗传由其一对基因决定，其中决定高的基因记为D，决定矮的基因记为d，则杂交所得第一子代的一对基因为Dd，若第二子代的D，d的基因遗传是等可能的（只要有基因D则其就是高茎，只有两个基因全是d时，才显示矮茎），则第二子代为高茎的概率为    ．

5. 难度：中等

蒸汽机飞轮的直径为1.2米，以320（转/分）的速度作逆时针旋转，则飞轮上一点1秒内所经过的路程为    米．

6. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（1，2），，则•=    ．

7. 难度：中等

在一本书中，分组统计100个句子中的字数，得出下列结果：字数1～5个的5句，字数6～10个的27句，字数11～15个的32句，字数16～20个的21句，字数21～25个的9句，字数26～30个的6句．利用组中值可估计该书中平均每个句子所包含的字数为    ．

8. 难度：中等

在△ABC中，若tanA+tanB+tanC=1，则tanAtanBtanC=    ．

9. 难度：中等

下面的流程图中，能实现数据A，B互相交换的有    ．（要求把符合条件的图形序号全填上）

10. 难度：中等

若正实数x，y满足2x+y+6=xy，则xy的最小值是    ．

11. 难度：中等

已知存在实数a，满足对任意的实数b，直线y=-x+b都不是曲线y=x³-3ax的切线，则实数a的取值范围是    ．

12. 难度：中等

已知某四面体的六条棱长分别为，，，，，，则两条较长棱所在直线所成角的余弦值为    ．

13. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，直线x=t（-4＜t＜4）与椭圆交于两点P₁（t，y₁）、P₂（t，y₂），且y₁＞0、y₂＜0，A₁、A₂分别为椭圆的左、右顶点，则直线A₁P₂与A₂P₁的交点所在的曲线方程为    ．

14. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，过原点O的直线与函数y=log₈x的图象交于A、B两点（A在B的左侧），分别过A、B作y轴的平行线分别与函数y=log₂x的图象交于C、D两点，若BC∥x轴，则四边形ABCD的面积为    ．

15. 难度：中等

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为．
（1）求f（x）的解析式；  
（2）当时，求f（x）的最大值及相应的x的值．

16. 难度：中等

如图，在四面体ABCD中，AB=AC=DB=DC，点E是BC的中点，点F在线段AC上，且．
（1）若EF∥平面ABD，求实数λ的值；
（2）求证：平面BCD⊥平面AED．

17. 难度：中等

请你为某养路处设计一个用于储藏食盐的仓库（供融化高速公路上的积雪之用）．它的上部是底面圆半径为5m的圆锥，下部是底面圆半径为5m的圆柱，且该仓库的总高度为5m．经过预算，制造该仓库的圆锥侧面、圆柱侧面用料的单价分别为400元/m²、100元/m²，问当圆锥的高度为多少时，该仓库的侧面总造价（单位：元）最少？

18. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率为，右顶点为A，直线BC过原点O，且点B在x轴上方，直线AB与AC分别交直线l：x=a+1于点E、F．
（1）若点，求△ABC的面积；
（2）若点B为动点，设直线AB与AC的斜率分别为k₁、k₂．
①试探究：k₁•k₂是否为定值？若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由；
②求△AEF的面积的最小值．

19. 难度：中等

已知等比数列{a_n}的首项为a₁（a₁＞0），公比为q（0＜q＜1），且，．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若从数列{a_n}中依次抽取的一个无穷等比数列，满足其所有项的和落在区间内，试求出所有这样的等比数列．

20. 难度：中等

定义在正实数集上的函数f（x）满足下列条件：
①存在常数a（0＜a＜1），使得f（a）=1；②对任意实数m，当x∈R⁺时，有f（x^m）=mf（x）．
（1）求证：对于任意正数x，y，f（xy）=f（x）+f（y）；
（2）证明：f（x）在正实数集上单调递减；
（3）若不等式f（log_a²（4-x）+2）-f（log_a（4-x）⁸）≤3恒成立，求实数a的取值范围．

21. 难度：中等

选作题，本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．（几何证明选讲）
如图，已知两圆交于A、B两点，过点A、B的直线分别与两圆交于P、Q和M、N．求证：PM∥QN．
B．（矩阵与变换）
已知矩阵A的逆矩阵A^-1=，求矩阵A．
C．（极坐标与参数方程）
在平面直角坐标系xOy中，过椭圆在第一象限处的一点P（x，y）分别作x轴、y轴的两条垂线，垂足分别为M、N，求矩形PMON周长最大值时点P的坐标．
D．（不等式选讲）
已知关于x的不等式|x-a|+1-x＞0的解集为R，求实数a的取值范围．

22. 难度：中等

如图，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=1，D₁D=2，点P在棱CC₁上，且．
（1）求PC的长；
（2）求钝二面角A-A₁B-P的大小．

23. 难度：中等

某品牌设计了编号依次为1，2，3，…，n（n≥4，且n∈N^*）的n种不同款式的时装，由甲、乙两位模特分别独立地从中随机选择i，j（0≤i，j≤n，且i，j∈N）种款式用来拍摄广告．
（1）若i=j=2，且甲在1到m（m为给定的正整数，且2≤m≤n-2）号中选择，乙在（m+1）到n号中选择．记P_st（1≤s≤m，m+1≤t≤n）为款式（编号）s和t同时被选中的概率，求所有的P_st的和；
（2）求至少有一个款式为甲和乙共同认可的概率．