2011-2012学年江苏省盐城市高三摸底数学试卷（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知集合P={-2，0，2，4}，Q={x|0＜x＜3}，则P∩Q=    ．

2. 难度：中等

命题“∀x∈R，sinx＞0”的否定是    ．

3. 难度：中等

已知复数z=（2-i）i（i为虚数单位），则|z|=    ．

4. 难度：中等

已知等差数列{a_n}满足a₃+a₇=10，则该数列的前9项和S₉=    ．

5. 难度：中等

4张卡片上分别写有数字0，1，2，3，从这4张卡片中一次随机抽取不同的2张，则取出的卡片上的数之差的绝对值等于2的概率为    ．

6. 难度：中等

某校举行2011年元旦汇演，七位评委为某班的小品打出的分数如茎叶统计图所示，则去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值为    ．

7. 难度：中等

执行右图所示的程序框图，输出结果y的值是    ．

8. 难度：中等

已知向量=（3，1），=（-1，），若向量+λ与向量垂直，则实数λ的值为    ．

9. 难度：中等

在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为    ．

10. 难度：中等

若y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的最小值为-2，其图象相邻最高点与最低点横坐标之差为，且图象过点（0，），则其解析式是    ．

11. 难度：中等

如图，已知椭圆的左顶点为A，左焦点为F，上顶点为B，若∠BAO+∠BFO=90°，则该椭圆的离心率是    ．

12. 难度：中等

与直线x=3相切，且与圆（x+1）²+（y+1）²=1相内切的半径最小的圆的方程是    ．

13. 难度：中等

已知函数f（x）=|x²-6|，若a＜b＜0，且f（a）=f（b），则a²b的最小值是    ．

14. 难度：中等

设等差数列{a_n}满足：公差d∈N^*，a_n∈N^*，且{a_n}中任意两项之和也是该数列中的一项．若a₁=3⁵，则d的所有可能取值之和为    ．

15. 难度：中等

如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是BC的中点．
（1）求证：平面AB₁D⊥平面B₁BCC₁；
（2）求证：A₁C∥平面AB₁D．

16. 难度：中等

如图，在△ABC中，BC边上的中线AD长为3，且cosB=，cos∠ADC=-．
（Ⅰ）求sin∠BAD的值；
（Ⅱ）求AC边的长．

17. 难度：中等

某市出租汽车的收费标准如下：在3km以内（含3km）的路程统一按起步价7元收费，超过3km以外的路程按2.4元/km收费．而出租汽车一次载客的运输成本包含以下三个部分：一是固定费用约为2.3元；二是燃油费，约为1.6元/km；三是折旧费，它与路程的平方近似成正比，且当路程为100km时，折旧费约为0.1元．现设一次载客的路程为xkm．
（Ⅰ）试将出租汽车一次载客的收费F与成本C分别表示为x的函数；
（Ⅱ）若一次载客的路程不少于2km，则当x取何值时，该市出租汽车一次载客每km的收益y（y=）取得最大值？

18. 难度：中等

（本题文科学生做）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知F₁（-4，0），F₂（4，0），A（0，8），直线y=t（0＜t＜8）与线段AF₁、AF₂分别交于点P、Q．
（Ⅰ）当t=3时，求以F₁，F₂为焦点，且过PQ中点的椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点Q作直线QR∥AF₁交F₁F₂于点R，记△PRF₁的外接圆为圆C．
①求证：圆心C在定直线7x+4y+8=0上；
②圆C是否恒过异于点F₁的一个定点？若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由．

19. 难度：中等

已知f（x）为R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=ln（x+2）．
（Ⅰ）当x＜0时，求f（x）的解析式；
（Ⅱ）当m∈R时，试比较f（m-1）与f（3-m）的大小；
（Ⅲ）求最小的整数m（m≥-2），使得存在实数t，对任意的x∈[m，10]，都有f（x+t）≤2ln|x+3|．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}满足[2+（-1）ⁿ⁺¹]a_n+[2+（-1）ⁿ]a_n+1=1+（-1）ⁿ•3n，n∈N^*，a₁=2．
（Ⅰ）求a₂，a₃的值；
（Ⅱ）设bn=a_2n+1-a_2n-1，n∈N^*，证明：{b_n}是等差数列；
（Ⅲ）设c_n=a_n+n²，求数列{c_n}的前n项和S_n．

21. 难度：中等

如图，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E．求∠DAC的度数与线段AE的长．

22. 难度：中等

已知矩阵A=，求A的特征值λ₁、λ₂及对应的特征向量α₁、α₂．

23. 难度：中等

（选修4-4：坐标系与参数方程）
已知直线l的极坐标方程为（ρ∈R），曲线C的参数方程为（θ为参数），试判断l与C的位置关系．

24. 难度：中等

（选修4-5：不等式选讲）
已知a，b，c为正数，且a²+a²+c²=14，试求a+2b+3c的最大值．

25. 难度：中等

甲、乙等五名深圳大运会志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．
（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；
（Ⅱ）设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，求ξ的分布列．

26. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，，M是棱CC₁的中点，
（1）求证：A₁B⊥AM；
（2）求直线AM与平面AA₁B₁B所成角的正弦值．