2012年广东省深圳市宝安区松岗中学高考数学模拟试卷3（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合A={x||x|≤2，x∈R}，B={y|y=-x²，-1≤x≤2}，则∁_R（A∩B）等于（ ）
A．R
B．（-∞，-2）∪（0．+∞）
C．（-∞，-1）∪（2，+∞）
D．φ

2. 难度：中等

若复数（a+i）²在复平面内对应的点在y轴负半轴上，则实数a的值是（ ）
A．1
B．-1
C．
D．-

3. 难度：中等

“a＜-2”是“函数f（x）=ax+3在区间[-1，2]上存在零点x”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充分必要条件
D．既非充分也非必要条件

4. 难度：中等

阅读如图所示的程序框图，输出的结果S的值为（ ）

A．0
B．
C．
D．

5. 难度：中等

设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题：
①若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥α；    
②若a∥α，a⊥β，则α⊥β；
③若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a⊂α； 
④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β
其中正确命题的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

6. 难度：中等

函数y=cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，该函数的部分图象如图所表示，A、B分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为，则该函数的一条对称轴为（ ）

A．
B．
C．x=1
D．x=2

7. 难度：中等

在△ABC中，P是BC边中点，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，则△ABC的形状为（ ）
A．直角三角形
B．钝角三角形
C．等边三角形
D．等腰三角形但不是等边三角形

8. 难度：中等

类比“两角和与差的正弦公式”的形式，对于给定的两个函数：S（x）=a^x-a^-x，C（x）=a^x+a^-x，其中a＞0，且a≠1，下面正确的运算公式是：（ ）
①S（x+y）=S（x）C（y）+C（x）S（y）；②S（x-y）=S（x）C（y）-C（x）S（y）；
③2S（x+y）=S（x）C（y）+C（x）S（y）；④2S（x-y）=S（x）C（y）-C（x）S（y）．
A．①②
B．③④
C．①④
D．②③

二、解答题

9. 难度：中等

若等差数列{a_n}的前5项和S_n=25，且a₂=3，则a₄=    ．

10. 难度：中等

已知直线l₁与圆x²+y²+2y=0相切，与直线l₂：3x+4y-6=0平行且距离最大，则直线l₁的方程是    ．

11. 难度：中等

设（e为自然对数的底数），则的值    ．

12. 难度：中等

已知函数f（x）=，则关于x的方程f[f（x）]+k=0给出下列四个命题：
①存在实数k，使得方程恰有1个实根；
②存在实数k，使得方程恰有2个不相等的实根；
③存在实数k，使得方程恰有3个不相等的实根；
④存在实数k，使得方程恰有4个不相等的实根．
其中正确命题的序号是    （把所有满足要求的命题序号都填上）．

13. 难度：中等

有限集合P中元素的个数记作card（P）．已知card（M）=10，A⊆M，B⊆M，A∩B=∅，且card（A）=2，card（B）=3．若集合X满足A⊆X⊆M，则集合X的个数是    （用数字作答）

14. 难度：中等

（几何证明选讲选做题）如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且，则=    ．

15. 难度：中等

已知圆的直角坐标方程为x²+y²-2y=0．在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，该圆的方程为    ．

16. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点．
（1）如果A，B两点的纵坐标分别为，，求cosα和sinβ的值；
（2）在（1）的条件下，求cos（β-α）的值；
（3）已知点C，求函数的值域．

17. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足=，求数列{b_n}的通项公式．

18. 难度：中等

盒中装有7个零件，其中2个是使用过的，另外5个未经使用．
（Ⅰ）从盒中每次随机抽取1个零件，每次观察后都将零件放回盒中，求3次抽取中恰有1次抽到使用过的零件的概率；
（Ⅱ）从盒中随机抽取2个零件，使用后放回盒中，记此时盒中使用过的零件个数为X，求X的分布列和数学期望．

19. 难度：中等

如图，在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PD⊥面ABCD．AD=1，，BC=4．
（1）求证：BD⊥PC；
（2）求直线AB与平面PDC所成角；
（3）设点E在棱PC、上，，若DE∥面PAB，求λ的值．

20. 难度：中等

已知点A（-1，0），B（1，0），动点M的轨迹曲线C满足∠AMB=2θ||•||cos²θ=3，过点B的直线交曲线C于P、Q两点．
（1）求||+||的值，并写出曲线C的方程；
（2）求△APQ面积的最大值．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=e^x-ax-1（a＞0，e为自然对数的底数）．
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）若f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的值；
（3）在（2）的条件下，证明：．