2011-2012学年上海市十三校高三第一次联考数学试卷（文科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知n∈N^*，则=    ．

2. 难度：中等

如图，U是全集，A⊆U，B⊆U，用集合运算符号表示图中阴影部分的集合是    ．

3. 难度：中等

函数的最小正周期是    ．

4. 难度：中等

若2+i是方程x²+bx+c=0（b、c∈R）的根，其中i是虚数单位，则b+c=    ．

5. 难度：中等

若函数f（x）=log_1-2ax在（0，+∞）上单调递减，则实数a的取值范围是    ．

6. 难度：中等

图中是一个算法流程图，则输出的正整数n的值是    ．

7. 难度：中等

设函数的反函数为y=f^-1（x），若f^-1（a）≥4，则实数a的取值范围是    ．

8. 难度：中等

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，D在斜边BC上，且CD=2DB，则的值为    ．

9. 难度：中等

对于任意的实数k，如果关于x的方程f（x）=k最多有2个不同的实数解，则|f（x）|=m（m为实常数）的不同的实数解的个数最多为    ．

10. 难度：中等

已知0＜a＜1，则函数y=a^|x|-|log_ax|的零点的个数为    ．

11. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和，若a_k+a_k+1＞12，则正整数k的最小值为    ．

12. 难度：中等

设不等式x²-1＜log_ax（a＞0，且a≠1）的解集为M，若（1，2）⊆M，则实数a的取值范围是    ．

13. 难度：中等

已知函数f（x）=2^x+arctanx，数列{a_n}满足，则f（a₂₀₁₂）=    ．

14. 难度：中等

设是平面内互不平行的三个向量，x∈R，有下列命题：
①方程不可能有两个不同的实数解；
②方程有实数解的充要条件是；
③方程有唯一的实数解；
④方程没有实数解．
其中真命题有    ．（写出所有真命题的序号）

二、选择题

15. 难度：中等

满足不等式的实数x的取值范围是（ ）
A．（-∞，-4]
B．
C．
D．

16. 难度：中等

设角α、β是锐角，则“”是“（1+tanα）（1+tanβ）=2”成立的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件

17. 难度：中等

对于复数a，b，c，d，若集合S={a，b，c，d}具有性质“对任意x，y∈S，必有xy∈S”，则当时，b+c+d等于（ ）
A．1
B．-1
C．0
D．i

18. 难度：中等

某个QQ群中有n名同学在玩一个数字哈哈镜游戏，这些同学依次编号为1，2，3，…，n．在哈哈镜中，每个同学看到的像用数对（p，q）（p＜q）表示，规则如下：若编号为k的同学看到像为（p，q），则编号为k+1的同学看到像为（q，r），且q-p=k（p，q，r∈N^*）．已知编号为1的同学看到的像为（5，6）．请根据以上规律，编号为3和n的同学看到的像分别是（ ）
A．（7，10）；（n+4，2n+4）
B．
C．
D．

三、解答题

19. 难度：中等

已知矩阵的某个列向量的模不大于行列式的值，求实数x的取值范围．

20. 难度：中等

为了研究某种癌细胞的繁殖规律和一种新型抗癌药物的作用，将癌细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，癌细胞的繁殖规律与天数的关系如下表．已知这种癌细胞在小白鼠体内的个数超过10⁸时小白鼠将会死亡，注射这种抗癌药物可杀死其体内癌细胞的98%．

天数t	1	2	3	4	5	6	7	…
癌细胞个数N	1	2	4	8	16	32	64	…

（1）要使小白鼠在实验中不死亡，第一次最迟应在第几天注射该种药物？（精确到1天）
（2）若在第10天，第20天，第30天，…给小白鼠注射这种药物，问第38天小白鼠是否仍然存活？请说明理由．

21. 难度：中等

已知函数．
（1）若是最小正周期为π的偶函数，求ω和θ的值；
（2）若g（x）=f（3x）在上是增函数，求ω的最大值；并求此时f（x）在[0，π]上的取值范围．

22. 难度：中等

设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）在a_n与之间插入n个1，构成如下的新数列：a₁，1，a₂，1，1，a₃，1，1，1，a₄，…，求这个数列的前2012项的和；
（3）在a_n与a_n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成公差为d_n的等差数列（如：在a₁与a₂之间插入1个数构成第一个等差数列，其公差为d₁；在a₂与a₃之间插入2个数构成第二个等差数列，其公差为d₂，…以此类推），设第n个等差数列的和是A_n．是否存在一个关于n的多项式g（n），使得A_n=g（n）d_n对任意n∈N^*恒成立？若存在，求出这个多项式；若不存在，请说明理由．

23. 难度：中等

已知函数，其中0＜a＜b．
（1）当D=（0，+∞）时，设，f（x）=g（t），求y=g（t）的解析式及定义域；
（2）当D=（0，+∞），a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（3）设k＞0，当a=k²，b=（k+1）²时，1≤f（x）≤9对任意x∈[a，b]恒成立，求k的取值范围．