2011-2012学年新疆克拉玛依实验中学高三（下）4月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若复数（x∈R）为纯虚数，则x等于（ ）
A．0
B．1
C．-1
D．0或1

2. 难度：中等

给出下列三个命题：
①∀x∈R，x²＞0；
②∃x∈R，使得x²≤x成立；
③对于集合M，N，若x∈M∩N，则x∈M且x∈N．
其中真命题的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

3. 难度：中等

沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，若输入x=0.1，则输出m的值是（ ）

A．0
B．0.1
C．1
D．-1

5. 难度：中等

“cosα=”是“cos2α=-”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

6. 难度：中等

由直线，曲线y=cosx及x轴、y轴所围图形的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知双曲线，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M，N两点，O为坐标原点．若OM⊥ON，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

在三次独立重复试验中，事件A在每次试验中发生的概率相同，若事件A至少发生一次的概率为，则事件A恰好发生一次的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其最小正周期为3，且，f（x）=log₂（-3x+1），则f（2011）=（ ）
A．-2
B．2
C．4
D．log₂7

10. 难度：中等

已知=1，=2，与的夹角为120°，++=0，则与的夹角为（ ）
A．150°
B．90°
C．60°
D．30°

11. 难度：中等

将函数f （x）=sin2x （x∈R）的图象向右平移个单位，则所得到的图象对应的函数的一个单调递增区间是（ ）
A．（-，0）
B．（0，）
C．（，）
D．（，π）

12. 难度：中等

已知函数则函数y=f[f（x）]+1的零点个数是（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1

二、解答题

13. 难度：中等

若展开式中各项系数之和为32，则该展开式中含 x³的项的系数为    ．（用数字作答）

14. 难度：中等

已知点P（2，t）在不等式组表示的平面区域内，则点P（2，t）到直线3x+4y+10=0距离的最大值为    ．

15. 难度：中等

如图，已知球O的面上四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC=，则球O的体积等于    ．

16. 难度：中等

在△ABC中，若，则∠C=    ．

17. 难度：中等

已知等比数列{a_n}的公比大于1，S_n是数列{a_n}的前n项和，S₃=39，且a₁，，依次成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（II）若数列{bn}满足：b₁=3，b_n=a_n（++…+）（n≥2），求数列{b_n}的前n项和T_n．

18. 难度：中等

某学院为了调查本校学生2011年9月“健康上网”（健康上网是指每天上网不超过两小时）的天数情况，随机抽取了40名本校学生作为样本，统计他们在该月30天内健康上网的天数，并将所得数据分成以下六组：[O，5]，（5，1O]，…，（25，30]，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示．
（I）根据频率分布直方图，求这40名学生中健康上网天数超过20天的人数；
（Ⅱ）现从这40名学生中任取2名，设Y为取出的2名学生中健康上网天数超过20天的人数，求Y的分布列及其数学期望E（Y）．

19. 难度：中等

如图，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱长都为2，AC∩BD=O，则棱AA₁与底面ABCD所成的角为60°，A₁O⊥平面ABCD，F为DC₁的中点．
（1）证明：BD⊥AA₁；
（2）证明：OF∥平面BCC₁B₁；
（3）求二面角D-AA₁-C的余弦值．

20. 难度：中等

在直角坐标系xOy中，椭圆的左、右焦点分别为F₁，F₂．其中F₂也是抛物线C₂：y²=4x的焦点，点M为C₁与C₂在第一象限的交点，且
（Ⅰ）求C₁的方程；
（Ⅱ）若过点D（4，0）的直线l与C₁交于不同的两点E，F．E在DF之间，试求△ODE 与△ODF面积之比的取值范围．（O为坐标原点）

21. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx，g（x）=e^x．
（ I）若函数φ（x）=f（x）-，求函数φ（x）的单调区间；
（Ⅱ）设直线l为函数的图象上一点A（x，f （x））处的切线．证明：在区间（1，+∞）上存在唯一的x，使得直线l与曲线y=g（x）相切．

22. 难度：中等

如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：
（1）∠DEA=∠DFA；
（2）AB²=BE•BD-AE•AC．

23. 难度：中等

已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合．设点O为坐标原点，直线（参数t∈R）与曲线C的极坐标方程为 ρcos²θ=2sinθ
（Ⅰ）求直线l与曲线C的普通方程；
（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A，B两点，证明：=0．

24. 难度：中等

选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=|2x+1|，g（x）=|x|+a-1
（1）当a=1，解不等式f（x）≥g（x）；
（2）若存在x∈R，使得f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围．