2012年上海市青浦区高考数学一模试卷（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知全集U=R，A={x|x²-3x＜0}，B={x|x＞2}，则A∩C_UB=    ．

2. 难度：中等

已知a是实数，是纯虚数，则a=    ．

3. 难度：中等

方程lg=lg（4^x-1）的解是x=    ．

4. 难度：中等

的展开式中x²的系数为    ．（用数字作答）

5. 难度：中等

直线l过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，且与抛物线交于A、B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线方程是    ．

6. 难度：中等

已知等比数列{a_n}中，各项都是正数，且成等差数列，则等于    ．

7. 难度：中等

设a，b∈R⁺，则=    ．

8. 难度：中等

已知命题“”是命题“a∈A”的必要非充分条件，请写出一个满足条件的非空集合A=    ．

9. 难度：中等

定义某种新运算⊙：s=a⊙b的运算原理如图流程图所示，则5⊙4-3⊙4=    ．

10. 难度：中等

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积为30cm³，P为其侧棱BB₁上的任意一点，则四棱锥P-A₁C₁CA的体积为    cm³．

11. 难度：中等

某班级有38人，现需要随机抽取2人参加一次问卷调查，那么甲同学选上，乙同学未选上的概率是    （用分数作答）．

12. 难度：中等

已知二次函数y=f（x）的图象为开口向下的抛物线，且对任意x∈R都有f（1-x）=f（1+x）．若向量=（），=（），则满足不等式f＞f（-1）的m的取值范围为    ．

13. 难度：中等

已知平面区域，则平面区域C₁的面积为    ．

14. 难度：中等

直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数f（x）的图象恰好通过k（k∈N*）个格点，则称函数f（x）为k阶格点函数．下列函数：
①f（x）=sinx；  ②f（x）=π（x-1）²+3；  ③；  ④f（x）=log_0.6x．其中是一阶格点函数的有    ．

二、选择题

15. 难度：中等

设集合A={x|}，集合B={x||x-2|＞1}，且B⊆A，则实数a的取值范围是 （ ）
A．a≤1
B．a≤3
C．1≤a≤3
D．a≥3

16. 难度：中等

在边长为1的正六边形A₁A₂A₃A₄A₅A₆中，的值为（ ）
A．
B．-
C．
D．-

17. 难度：中等

函数y=cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，A，B分别为函数图象上相邻的最高点与最低点，且|AB|=4，则该函数的一条对称轴为（ ）
A．x=1
B．x=2
C．x=
D．x=

18. 难度：中等

已知椭圆及以下3个函数：①f（x）=x；②f（x）=sinx；③f（x）=xsinx，其中函数图象能等分该椭圆面积的函数个数有（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

三、解答题

19. 难度：中等

如图：三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，若底面ABC是边长为2的正三角形，且PB与底面ABC所成的角为．若M是BC的中点，求：
（1）三棱锥P-ABC的体积；
（2）异面直线PM与AC所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

20. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C的对边分别a、b、c，已知a+b=5，，且sin²2C+sin2C•sinC-2sin²C=0．
（Ⅰ） 求角C的大小；
（Ⅱ） 求△ABC的面积．

21. 难度：中等

我们已经学习过如下知识：平面内到两个定点F₁，F₂的距离和等于常数2a（2a＞|F₁F₂|）的点的轨迹叫做椭圆；平面内到两个定点F₁，F₂的距离之差的绝对值等于常数2a（2a＜|F₁F₂|）的点的轨迹叫做双曲线．
（1）试求平面内到两个定点F₁，F₂的距离之商为定值a（a＞0且a≠1）的点的轨迹；
提示：取线段F₁F₂所在直线为x轴，线段F₁F₂的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，设F₁，F₂的坐标分别为（-c，0），（c，0）其中|F₁F₂|=2c．
（2）若△ABC中，满足AB=4，AC=BC，求三角形ABC的面积的最大值．

22. 难度：中等

定义在R上的奇函数f（x）有最小正周期4，且x∈（0，2）时，f（x）=．
（1）判断并证明f（x）在（0，2）上的单调性，并求f（x）在[-2，2]上的解析式；
（2）当λ为何值时，关于x的方程f（x）=λ在[2，6]上有实数解？

23. 难度：中等

设m＞3，对于项数m的有穷数列{a_n}，令b_k为a₁，a₂，…，a_k（k≤m）中最大值，称数列{b_n}为{a_n}的“创新数列”．例如数列3，5，4，7的创新数列为3，5，5，7．考查自然数1，2，…，m（m＞3）的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列{c_n}．
（1）若m=4，写出创新数列为3，4，4，4的所有数列{c_n}；
（2）是否存在数列{c_n}的创新数列为等比数列？若存在，求出符合条件的创新数列；若不存在，请说明理由．
（3）是否存在数列{c_n}，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出满足所有条件的数列{c_n}的个数；若不存在，请说明理由．