2011-2012学年广东省广州市真光中学等六校协作体高三第二次联考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设z=1-i（1是虚数单位），则=（ ）
A．1+1
B．-1+1
C．1-i
D．-1-1

2. 难度：中等

设全集U=R，集合A={x|y=log₂x}，B={x∈Z|x²-4≤0}，则下列结论正确的是（ ）
A．A∪B=（0，+∞）
B．（∁_UA）∪B=（-∞，0]
C．（∁_UA）∩B={-2，-1，0}
D．（∁_UA）∩B={1，2}

3. 难度：中等

如图给出了红豆生长时间t（月）与枝数y（枝）的散点图：那么“红豆生南国，春来发几枝．”的红豆生长时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好？（ ）

A．指数函数：y=2^t
B．对数函数：y=log₂t
C．幂函数：y=t³
D．二次函数：y=2t²

4. 难度：中等

已知定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=a^x-a^-x+2（a＞0，且a≠1），若g（2012）=a，则f（-2012）=（ ）
A．2
B．2^-2012-2²⁰¹²
C．2²⁰¹²-2^-2012
D．a²

5. 难度：中等

已知实数x，y满足约束条件则z=2x-y的取值范围是（ ）
A．[1，2]
B．[0，2]
C．[1，3]
D．[0，1]

6. 难度：中等

如图，设D是图中边长为4的正方形区域，E是D内函数y=x²图象下方的点构成的区域．在D内随机取一点，则该点在E中的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h随时间t变化的可能图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知f（x）为定义在（-∞，+∞）上的可导函数，且f（x）＜f'（x）对于x∈R恒成立，且e为自然对数的底，则（ ）
A．f（1）＞e•f（0），f（2012）＞e²⁰¹²•f（0）
B．f（1）＜e•f（0），f（2012）＞e²⁰¹²•f（0）
C．f（1）＞e•f（0），f（2012）＜e²⁰¹²•f（0）
D．f（1）＜e•f（0），f（2012）＜e²⁰¹²•f（0）

二、解答题

9. 难度：中等

等比数列{a_n}中，a₃=2，a₇=8，则a₅=    ．

10. 难度：中等

在的展开式中，x⁶的系数是    ．

11. 难度：中等

命题“∃x∈R，x²-3x≤0”的否定是    ．

12. 难度：中等

已知||=||=||=2，则|2|的值为    ．

13. 难度：中等

在实数的原有运算法则中，定义新运算a⊗b=3a-b，则|x⊗（4-x）|+|（1-x）⊗x|＞8的解集为    ．

14. 难度：中等

（坐标系与参数方程）在平面直角坐标系下，曲线（t为参数），曲线（a为参数）．若曲线C_l、C₂有公共点，则实数a的取值范围    ．

15. 难度：中等

如图，点A，B，C是圆O上的点，且，则∠AOB对应的劣弧长为    ．

16. 难度：中等

已知函数f（x）=sin（x+）+sin（x-）+cosx+a（a∈R，a为常数）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若函数f（x）在[-，]上的最大值与最小值之和为，求实数a的值．

17. 难度：中等

调查某初中1000名学生的肥胖情况，得下表：

	偏瘦	正常	肥胖
女生（人）	100	173	y
男生（人）	x	177	z

已知从这批学生中随机抽取1名学生，抽到偏瘦男生的概率为0.15．
（Ⅰ）求x的值；
（Ⅱ）若用分层抽样的方法，从这批学生中随机抽取50名，问应在肥胖学生中抽多少名？
（Ⅲ）已知y≥193，z≥193，肥胖学生中男生不少于女生的概率．

18. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，点D是AB的中点．
（Ⅰ）求证：AC⊥BC₁；
（Ⅱ）求二面角D-CB₁-B的平面角的正切值．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=ax•lnx+b（a，b∈R），在点（e，f（e））处的切线方程是2x-y-e=0（e为自然对数的底）．
（1）求实数a，b的值及f（x）的解析式；
（2）若t是正数，设h（x）=f（x）+f（t-x），求h（x）的最小值；
（3）若关于x的不等式xlnx+（6-x）ln（6-x）≥ln（k²-72k）对一切x∈（0，6）恒成立，求实数k的取值范围．

20. 难度：中等

已知数列{a_n} 中，a₁=2，a_n-a_n-1-2n=0（n≥2，n∈N）．
（1）写出a₂、a₃的值（只写结果）并求出数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=+++…+，求b_n的最大值．

21. 难度：中等

如图，曲线C₁是以原点O为中心、F₁，F₂为焦点的椭圆的一部分，曲线C₂是以O为顶点、F₂为焦点的抛物线的一部分，A是曲线C₁和C₂的交点且∠AF₂F₁为钝角，若|AF₁|=，|AF₂|=，
（1）求曲线C₁和C₂的方程；
（2）过F₂作一条与x轴不垂直的直线，分别与曲线C₁、C₂依次交于B、C、D、E四点，若G为CD中点、H为BE中点，问是否为定值？若是求出定值；若不是说明理由．