2012年上海市静安区高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

底面半径为5cm、高为10cm的圆柱的体积为    cm³．

2. 难度：中等

不等式的解集为    ．

3. 难度：中等

掷一颗六个面分别有点数1、2、3、4、5、6的均匀的正方体骰子，则出现的点数小于7的概率为    ．

4. 难度：中等

在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的三边长，若，则角B的大小为    ．

5. 难度：中等

已知向量、向量，则=    ．

6. 难度：中等

若二项式的展开式中，x⁹的系数为-，则常数a的值为    ．

7. 难度：中等

若a＜0，则关于x的不等式组的解集为    ．

8. 难度：中等

已知正三棱锥的底面边长为2，高为1，则该三棱锥的侧面积为    ．

9. 难度：中等

已知圆锥的体积为12πcm³，底面积为9πcm²，则该圆锥的母线长为    cm．

10. 难度：中等

有8本互不相同的书，其中数学书3本，外文书3本，文学书2本．若将这些书排成一列放在书架上，则数学书恰好排在一起，外文书也恰好排在一起的排法共有    种．（结果用数值表示）

11. 难度：中等

函数f（x）=在闭区间[-]上的最小值为    ．

12. 难度：中等

已知正数x，y，z满足3x+2y-z=0，则的最小值为    ．

13. 难度：中等

设函数f（x）=|x+1|+|x-a|的图象关于直线x=1对称，则a的值为    ．

14. 难度：中等

方程|x²-2x-3|=2x+k有3个或者3个以上解，则常数k的取值范围是    ．

二、选择题

15. 难度：中等

对于闭区间[k，2]（常数k＜2）上的二次函数f（x）=x²-1，下列说法正确的是（ ）
A．它一定是偶函数
B．它一定是非奇非偶函数
C．只有一个k值使它为偶函数
D．只有当它为偶函数时，有最大值

16. 难度：中等

若空间有四个点，则“这四个点中三点在同一条直线上”是“这四个点在同一个平面上”的（ ）
A．充要条件
B．既非充分条件又非必要条件
C．必要而非充分条件
D．充分而非必要条件

17. 难度：中等

等比数列{a_n}的首项a₁=-1，前n项和为S_n，若，则等于（ ）
A．
B．1
C．-
D．不存在

18. 难度：中等

在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱BC的中点，F为棱DD₁的中点．则异面直线EF与BD₁所成角的余弦值是（ ）

A．
B．
C．
D．

三、解答题

19. 难度：中等

已知2+ai，b+i（其中a，b∈R）是实系数一元二次方程x²+px+q=0的两个根．
（1）求a，b，p，q的值；
（2）计算：．

20. 难度：中等

我们知道，当两个矩阵P、Q的行数与列数分别相等时，将它们对应位置上的元素相减，所得到的矩阵称为矩阵P与Q的差，记作
P-Q．已知矩阵，，，满足P-Q=M．求下列三角比的值：
（1）sinA，cosA；
（2）sin（A-B）．

21. 难度：中等

某市地铁连同站台等附属设施全部建成后，平均每1公里需投资人民币1亿元．全部投资都从银行贷款．从投入营运那一年开始，地铁公司每年需归还银行相同数额的贷款本金0.05亿元．这笔贷款本金先用地铁营运收入支付，不足部分由市政府从公用经费中补足．地铁投入营运后，平均每公里年营运收入（扣除日常管理费等支出后）第一年为0.0124亿元，以后每年增长20%，到第20年后不再增长．求：
（1）地铁营运几年，当年营运收入开始超过当年归还银行贷款本金？
（2）截至当年营运收入超过当年归还银行贷款本金的那一年，市政府已累计为1公里地铁支付多少元费用？
（精确到元，1亿=1×10⁸）

22. 难度：中等

已知a＞0且a≠1，数列{a_n}是首项与公比均为a的等比数列，数列{b_n}满足b_n=a_n•lga_n（n∈N^*）．
（1）若a=2，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（2）若对于n∈N^*，总有b_n＜b_n+1，求a的取值范围．

23. 难度：中等

已知函数f（x）=-x²+4|x|+5．
（1）画出函数y=f（x）在闭区间[-5，5]上的大致图象；
（2）解关于x的不等式f（x）＜7；
（3）当时，证明：f（x）＜kx+4k+7对x∈R恒成立．