2012年北京二中高考数学一模训练1（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合P={3，log₂a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，则P∪Q=（ ）
A．{3，0}
B．{3，0，1}
C．{3，0，2}
D．{3，0，1，2}

2. 难度：中等

函数图象的对称轴方程可以为（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

设b、c表示两条直线，α，β表示两个平面，则下列命题是真命题的是（ ）
A．若b⊂α，c∥α，则b∥c
B．若b⊂α，b∥c，则c∥α
C．若c∥α，α⊥β，则c⊥β
D．若c∥α，c⊥β，则α⊥β

4. 难度：中等

函数f（x）=|x-2|-lnx在定义域内零点的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

5. 难度：中等

已知不等式组所表示的平面区域的面积为4，则k的值为（ ）
A．1
B．-3
C．1或-3
D．0

6. 难度：中等

函数f（x）是R上的奇函数，g（x）是R上的周期为4的周期函数，已知f（-2）=g（-2）=6且，则g（0）的值为（ ）
A．2
B．1
C．0
D．-1

7. 难度：中等

按照如图的程序框图执行，若输出结果为15，则M处条件为（ ）

A．k≥16
B．k＜8
C．k＜16
D．k≥8

8. 难度：中等

P是△ABC所在平面上一点，满足．若S_△ABC=6，则△PAB的面积等于（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1

二、解答题

9. 难度：中等

如图，△ABC是圆的内接三角形，PA切圆于点A，PB交圆于点D．若∠ABC=60°，PD=1，BD=8，则∠PAC=    °，PA=    ．

10. 难度：中等

某校高中年级开设了丰富多彩的校本课程，甲、乙两班各随机抽取了5名学生的学分，用茎叶图表示（如右图）．s₁，s₂分别表示甲、乙两班各自5名学生学分的标准差，则s₁    s₂．（填“＞”、“＜”或“=”）

11. 难度：中等

已知向量=（1，0），=（x，1），若•=2，则x=    ；|+|=    ．

12. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_na_n+1=2ⁿ（n∈N^*），则a₉+a₁₀的值为    ．

13. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若a=csinA，则的最大值为    ．

14. 难度：中等

给定集合A_n={1，2，3，…，n}，映射f：A_n→A_n满足：
①当i，j∈A_n，i≠j时，f（i）≠f（j）；
②任取m∈A_n，若m≥2，则有m∈{f（1），f（2），..，f（m）}．
则称映射f：A_n→A_n是一个“优映射”．例如：用表1表示的映射f：A₃→A₃是一个“优映射”．
表1                               

i	1	2	3
f（i）	2	3	1

表2

i	1	2	3	4
f（i）		3

（1）已知表2表示的映射f：A₄→A₄是一个优映射，请把表2补充完整（只需填出一个满足条件的映射）；
（2）若映射f：A₁₀→A₁₀是“优映射”，且方程f（i）=i的解恰有6个，则这样的“优映射”的个数是    ．

15. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，角A、B、C成等差数列，，边a的长为．
（I）求边b的长；
（II）求△ABC的面积．

16. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若PA=AB，求PB与AC所成角的余弦值；
（Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．

17. 难度：中等

某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料．若4杯都选对，则月工资定位3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元，否则月工资定为2100元，今X表示此人选对A饮料的杯数，假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．
（1）求X的分布列；
（2）求此员工月工资的期望．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=（2ax-x²）e^ax，其中a为常数，且a≥0．
（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的极值点；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间上单调递减，求实数a的取值范围．

19. 难度：中等

已知椭圆的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B，已知点A的坐标为（-a，0），点Q（0，y）在线段AB的垂直平分线上，且，求y的值．

20. 难度：中等

有n个首项为1的等差数列，设第m个数列的k项为a_mk（m，k=1，2，3，…，n，n≥3），公差为d_m，并且a_1n，a_2n，a_3n，…，a_nn成等差数列．
（1）当d₃=2时，求a₃₂，a₃₃，a₃₄以及a_3n；
（2）证明d_m=p₁d₁+p₂d₂（3≤m≤n，p₁，p₂是m的多项式），并求p₁+p₂的值；
（3）当d₁=1，d₂=3时，将数列{d_m}分组如下：（d₁），（d₂，d₃，d₄），（d₅，d₆，d₇，d₈，d₉），…（每组数的个数构成等差数列），设前m组中所有数之和为（c_m）⁴，（c_m＞0），求数列的前n项和S_n．