2011-2012学年湖南省永州市蓝山二中高三第五次联考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知命题p：“x∈R，x²+1＞0”；命题q：“x∈R，sinx=2”则下列判断正确的是（ ）
A．p或q为真，非p为真
B．p或q为真，非p为假
C．p且q为真，非p为真
D．p且q为真，非p为假

2. 难度：中等

要得到一个奇函数，只需将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位
B．向右平移个单位
C．向左平移个单位
D．向左平移个单位

3. 难度：中等

函数f（x）=2^x-的零点所在区间为（ ）
A．（0，1）
B．（1，2）
C．（2，3）
D．（3，4）

4. 难度：中等

甲乙两位同学在高三的5次月考中数学成绩统计如茎叶图所示，若甲乙两人的平均成绩分别是x_甲，x_乙，则下列正确的是（ ）

A．x_甲＞x_乙；乙比甲成绩稳定
B．x_甲＞x_乙；甲比乙成绩稳定
C．x_甲＜x_乙；乙比甲成绩稳定
D．x_甲＜x_乙；甲比乙成绩稳定

5. 难度：中等

如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为2的正三角形，其俯视图轮廓为正方形，则其体积是（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

设α、β为两个不同的平面，m、n为两条不同的直线，则以下判断不正确的是（ ）
A．若α∥β，m⊥α，则m⊥β
B．若m⊥α，n⊥α，则m∥n
C．若α⊥β，α∩β=n，mα，m⊥n，则m⊥β
D．若m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，则α∥β

7. 难度：中等

下列图象中，有一个是函数f（x）=x³+ax²+（ a²-1）x+1（a∈R，a≠0）的导数f'（x）的图象，则f（-1）的值为（ ）
A．
B．-
C．
D．-或

8. 难度：中等

已知正项等比数列{a_n}满足：a₇=a₆+2a₅，若存在两项a_m，a_n使得=4a₁，则的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．不存在

二、解答题

9. 难度：中等

函数的定义域为     ．

10. 难度：中等

学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为100的样本，其频率分布直方图如图所示，则据此估计支出在[50，60）元的同学的概率为    ．

11. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知B=，a=，c=2，则△ABC的面积为    ．

12. 难度：中等

若向量、满足=（2，-1），=（1，2），则向量与的夹角等于    °．

13. 难度：中等

如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，异面直线BD与B′C所成角为    ；直线A′C与平面ABCD所成角的正弦值为    ．

14. 难度：中等

满足约束条件的点P（x，y）所在区域的面积等于    ．

15. 难度：中等

若函数y=f（x）（x∈D）同时满足下列条件：
（1）f（x）在D内为单调函数；
（2）f（x）的值域为D的子集，则称此函数为D内的“保值函数”．
已知函数f（x）=，g（x）=ax²+b．
①当a=2时，f（x）=是[0，+∞）内的“保值函数”，则b的最小值为    ；
②当-1≤a≤1，且a≠0，-1≤b≤1时，g（x）=ax²+b是[0，1]内的“保值函数”的概率为    ．

16. 难度：中等

已知sin（π-α）=，α∈（0，）．
（1）求sin2α-cos²的值；
（2）求函数f（x）=cosαsin2x-cos2x的单调递增区间．

17. 难度：中等

为了更好的开展社团活动，丰富同学们的课余生活，现用分层抽样的方法从“模拟联合国”，“街舞”，“动漫”，“话剧”四个社团中抽取若干人组成校社团指导小组，有关数据见下表（单位：人）

社团	相关人数	抽取人数
模拟联合国	24	a
街舞	18	3
动漫	b	4
话剧	12	c

（1）求a，b，c的值；
（2）若从“动漫”与“话剧”社团已抽取的人中选2人担任指导小组组长，求这2人分别来自这两个社团的概率．

18. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，E、F分别为PC、BD的中点，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD．
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）求证：PA⊥平面PCD．

19. 难度：中等

某造船公司年造船量最多20艘，已知造船x艘的产值函数为R（x）=3700x+45x²-10x³（单位：万元），成本函数为C（x）=460x+500（单位：万元）．
（1）求利润函数p（x）；（提示：利润=产值-成本）
（2）问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？
（3）在经济学中，定义函数f（x）的边际函数Mf（x）=f（x+1）-f（x）．求边际利润函数Mp（x），并求Mp（x）单调递减时x的取值范围；试说明Mp（x）单调递减在本题中的实际意义是什么？（参考公式：（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³）

20. 难度：中等

已知点列B₁（1，b₁），B₂（2，b₂），…，B_n（n，b_n），…（n∈N^）顺次为抛物线y=x²上的点，过点B_n（n，b_n）作抛物线y=x²的切线交x轴于点A_n（a_n，0），点C_n（c_n，0）在x轴上，且点A_n，B_n，C_n构成以点B_n为顶点的等腰三角形．
（1）求数列{a_n}，{c_n}的通项公式；
（2）是否存在n使等腰三角形A_nB_nC_n为直角三角形，若有，请求出n；若没有，请说明理由．
（3）设数列{}的前n项和为S_n，求证：≤S_n＜．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=x（x-a）（x-b），点A（s，f（s）），B（t，f（t））．
（1）若a=0，b=3，函数f（x）在（t，t+3）上既能取到极大值，又能取到极小值，求t的取值范围；
（2）当a=0时，对任意的恒成立，求b的取值范围；
（3）若0＜a＜b，函数f（x）在x=s和x=t处取得极值，且，O是坐标原点，证明：直线OA与直线OB不可能垂直．