2012年上海市闵行区高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

U={-3，-2，-1，0，1，2，3}，A={x|x²-1≤0，x∈Z}，B={x|-1≤x≤3，x∈Z}，则（∁_UA）∩B=    ．

2. 难度：中等

已知扇形的面积为，半径为1，则该扇形的圆心角的弧度数是    ．

3. 难度：中等

已知a、b∈R，命题“若a+b=2，则a²+b²≥2”的否命题是    ．

4. 难度：中等

若α为第二象限角，且sin（）+cos2α=0，则sinα+cosα的值为    ．

5. 难度：中等

椭圆上一焦点与短轴两端点形成的三角形的面积为1，则t=    ．

6. 难度：中等

设向量满足，，且与的方向相反，则的坐标为    ．

7. 难度：中等

已知直线l：y=kx+1与两点A（-1，5）、B（4，-2），若直线l与线段AB相交，则实数k的取值范围是    ．

8. 难度：中等

若f（n）=1+++…+（n∈N^*），则对于k∈N^*，f（k+1）=f（k）+    ．

9. 难度：中等

在△ABC中，若a≠b，且=，则∠C的大小为    ．

10. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，若输入x=2，则输出y的值为    ．

11. 难度：中等

设等差数列{a_n}的首项及公差均是正整数，前n项和为S_n，且a₁＞1，a₄＞6，S₃≤12，则a₂₀₁₂=    ．

12. 难度：中等

若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x）=f（x+2），且当x∈[-1，1]时，f（x）=x²，则函数g（x）=f（x）-|lgx|的零点个数为    个．

13. 难度：中等

如图，矩形OABC中，AB=1，OA=2，以B为圆心、BA为半径在矩形内部作弧，点P是弧上一动点，PM⊥OA，垂足为M，PN⊥OC，垂足为N，则四边形OMPN的周长的最小值为    ．

14. 难度：中等

已知线段AB上有10个确定的点（包括端点A与B）．现对这些点进行往返标数
（从A→B→A→B→…进行标数，遇到同方向点不够数时就“调头”往回数）．
如图：在点A上标1，称为点1，然后从点1开始数到第二个数，标上2，称为点2，再从点2开始数到第三个数，标上3，称为点3（标上数n的点称为点n），…，这样一直继续下去，直到1，2，3，…，2012都被标记到点上．则点2012上的所有标记的数中，最小的是    ．

二、选择题

15. 难度：中等

抛物线y=2x²的准线方程是（ ）
A．
B．
C．
D．

16. 难度：中等

若函数y=f（x）的图象与函数y=2^x+1的图象关于y=x+1对称，则f（x）=（ ）
A．log₂
B．log₂（x-1）
C．log₂（x+1）
D．log₂x-1

17. 难度：中等

已知关于x，y的二元一次线性方程组的增广矩阵为，记，则此线性方程组有无穷多组解的充要条件是（ ）
A．
B．两两平行
C．
D．方向都相同

18. 难度：中等

设x₁、x₂是关于x的方程x²+mx+m²-m=0的两个不相等的实数根，那么过两点A（x₁，），B（x₂，）的直线与圆（x-1）²+y²=1的位置关系是（ ）
A．相离
B．相切
C．相交
D．随m的变化而变化

三、解答题

19. 难度：中等

对于=（x₁，y₁），=（x₂，y₂），规定向量的“*”运算为：*=（x₁x₂，y₁y₂）．若=（x，1），=（-1，x），=（1，0），=（0，1）．解不等式．

20. 难度：中等

设双曲线C：-=1（a，b＞0），R₁，R₂是它实轴的两个端点，l是其虚轴的一个端点．已知其一条渐近线的一个方向向量是（1，），△lR₁R₂的面积是，O为坐标原点，直线y=kx+m（k，m∈R）与双曲线C相交于A、B两点，且⊥．
（1）求双曲线C的方程；
（2）求点P（k，m）的轨迹方程，并指明是何种曲线．

21. 难度：中等

某地政府为改善居民的住房条件，集中建设一批经适楼房．用了1400万元购买了一块空地，规划建设8幢楼，要求每幢楼的面积和层数等都一致，已知该经适房每幢楼每层建筑面积均为250平方米，第一层建筑费用是每平方米3000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加80元．
（1）若该经适楼房每幢楼共x层，总开发费用为y=f（x）万元，求函数y=f（x）的表达式（总开发费用=总建筑费用+购地费用）；
（2）要使该批经适房的每平方米的平均开发费用最低，每幢楼应建多少层？

22. 难度：中等

将边长分别为1、2、3、…、n、n+1、…（n∈N^*）的正方形叠放在一起，形成如图所示的图形，由小到大，依次记各阴影部分所在的图形为第1个、第2个、…、第n个阴影部分图形．设前n个阴影部分图形的面积的平均值为f（n）．记数列{a_n}满足a₁=1，．
（1）求f（n）的表达式；
（2）写出a₂，a₃的值，并求数列{a_n}的通项公式；
（3）记b_n=a_n+s（s∈R），若不等式有解，求s的取值范围．

23. 难度：中等

记函数f（x）在区间D上的最大值与最小值分别为max{f（x）|x∈D}与min{f（x）|x∈D}．设函数f（x）=，1＜b＜3．g（x）=f（x）+ax，x∈[1，3]．
（1）若函数g（x）在[1，3]上单调递减，求a的取值范围；
（2）若a∈R．令，h（a）=max{g（x）|x∈[1，3]}-{g（x）|x∈[1，3]}．记d（b）=min{h（a）|a∈R}．试写出h（a）的表达式，并求min{d（b）|b∈（1，3）}；
（3）令k（a）=max{g[f（x）]|x∈l}-min{g[f（x）]|x∈l}（其中l为g[f（x）]的定义域）．若l恰好为[1，3]，求b的取值范围，并求min{k（a）|a∈R}．