2011-2012学年江苏省扬州市高三（下）第三次调研数学试卷（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知集合A={x|-1＜x＜2}，B={x|-3＜x≤1}，则A∪B=    ．

2. 难度：中等

复数的实部与虚部的和是    ．

3. 难度：中等

用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为60的样本，其中高二年级抽取20人，高三年级抽取25人，已知该校高一年级共有800人，则该校学生总数为    人．

4. 难度：中等

等差数列{a_n}中，前n项和为S_n，若a₇=5，S₇=21，那么S₁₀等于    ．

5. 难度：中等

若函数f（x）=（1+tanx）cosx，0≤x＜，则f（x）的最大值为     ．

6. 难度：中等

圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是    cm．

7. 难度：中等

已知两条不同的直线m、n与两个互异的平面α、β给出下列五个命题：
①若m∥α，n∥α，则m∥n；
②若m∥α，n⊥α，则m⊥n；
③若m⊥α，m∥β，则α⊥β；
④若m⊥α，α⊥β，则m∥β；
其中真命题的序号是．    ．

8. 难度：中等

若x≥0，y≥0，且x+2y=1，则x²+y²的取值范围是    ．

9. 难度：中等

在△ABC中，边BC=2，AB=，则角C的取值范围是    ．

10. 难度：中等

已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线与曲线y=x³+2相切，则该双曲线的离心率等于    ．

11. 难度：中等

设定义域为R的函数若关于x的函数y=2f²（x）-3f（x）+1的零点的个数为    ．

12. 难度：中等

已知A（2，1），⊙O：x²+y²=1，由直线l：x-y+3=0上一点P向⊙O引切线PQ，切点为Q，若PQ=PA，则P点坐标是    ．

13. 难度：中等

设函数f（x）=x|x-a|，若对于任意的x₁，x₂∈[2，+∞），x₁≠x₂，不等式＞0恒成立，则实数a的取值范围是    ．

14. 难度：中等

已知平面上四个点A₁（0，0），，，A₄（4，0）．设D是四边形A₁A₂A₃A₄及其内部的点构成的点的集合，点P是四边形对角线的交点，若集合S={P∈D||PP|≤|PA_i|，i=1，2，3，4}，则集合S所表示的平面区域的面积为    ．

15. 难度：中等

已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos²x，
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）将函数y=f（x）图象向右平移个单位后，得到函数y=g（x）的图象，若，α为第一象限角，求sin2α值．

16. 难度：中等

如图，矩形ABCD所在平面与直角三角形ABE所的平面互相垂直，AE⊥BE，M、N分别是DE、AB的中点．
求证：
（Ⅰ）MN∥平面BCE；
（Ⅱ）AE⊥MN．

17. 难度：中等

如图所示的镀锌铁皮材料ABCD，上沿DC为圆弧，其圆心为A，圆半径为2米，AD⊥AB，BC⊥AB，且BC=1米．现要用这块材料裁一个矩形PEAF（其中P在圆弧DC上、E在线段AB上，F在线段AD上）做圆柱的侧面，若以PE为母线，问如何裁剪可使圆柱的体积最大？其最大值是多少？

18. 难度：中等

已知椭圆的左顶点为A，左、右焦点为F₁，F₂，点P是椭圆上一点，，且△PF₁F₂的三边构成公差为1的等差数列．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若，求椭圆方程；
（Ⅲ） 若c=1，点P在第一象限，且△PF₁F₂的外接圆与以椭圆长轴为直径的圆只有一个公共点，求点P的坐标﹒

19. 难度：中等

已知函数，其中a，b，c∈R．
（Ⅰ）若a=1，b=-2，求f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）若f（x）在区间[-1，1）、（1，3]内各有一个极值点，且f（-1）≤0恒成立，求c的取值范围；
（Ⅲ）对于给定的实数a、b、c，函数f（x）图象上两点A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））（x₁≠x₂）处的切线分别为l₁，l₂．若直线l₁与l₂平行，证明：A、B关于某定点对称，并求出该定点．

20. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的各项均为正数，其前n项和为S_n，首项a₁=1．
（Ⅰ）若，求S₅；
（Ⅱ）若数列{a_n}中存在两两互异的正整数m、n、p同时满足下列两个条件：①m+p=2n；②，求数列的通项a_n；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的数列{a_n}，设（n∈N^*），集合T_n={b_i•b_j|1≤i≤j≤n，i，j∈N^*}，记集合T_n中所有元素之和B_n，试问：是否存在正整数n和正整数k，使得不等式成立？若存在，请求出所有n和k的值；若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

选修4-2：矩阵与变换
设T_A是逆时针旋转的旋转变换，T_B是以直线l：y=x为轴的反射变换，求先进行T_A变换，后进行T_B变换的复合变换矩阵．

22. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度．已知直线l的极坐标方程为ρcosθ+2ρsinθ=0，曲线C的参数方程为（α是参数），又直线l与曲线C交于A，B两点，求线段AB的长．

23. 难度：中等

如图：在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是AC的中点，E是线段D₁O上一点，且．
（Ⅰ）求证：DB₁⊥平面CD₁O；
（Ⅱ）若平面CDE⊥平面CD₁O，求λ的值．

24. 难度：中等

已知函数，设数列{a_n}同时满足下列两个条件：①；②a_n+1=f'（a_n+1）．
（Ⅰ）试用a_n表示a_n+1；
（Ⅱ）记，若数列{b_n}是递减数列，求a₁的取值范围．