2012年山东省菏泽市某重点高中高三5月冲刺数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

集合A={y∈R|y=lgx，x＞1}，B={-2，-1，2}则下列结论正确的是（ ）
A．A∩B={-2，-1}
B．（C_UA）∪B=（-∞，0）
C．A∪B=（0，+∞）
D．（C_UA）∩B={-2，-1}

2. 难度：中等

设随机变量X服从正态分布N（0，1），P（X＞1）=p，则P（X＞-1）=（ ）
A．p
B．1-p
C．1-2p
D．2p

3. 难度：中等

下列命题中，正确的是（ ）
A．命题“∀x∈R，x²-x≤0”的否定是“∃x∈R，x²-x≥0”
B．命题“p∧q为真”是命题“pvq为真”的必要不充分条件
C．“若am²≤bm²，则a≤b”的否命题为真
D．若实数x，y∈[-1，1]，则满足x²+y²≥1的概率为

4. 难度：中等

如果运行如图的程序框图，那么输出的结果是（ ）
A．1，8，16
B．1，7，15
C．2，10，18
D．1，9，17

5. 难度：中等

已知长方形的四个项点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P₁后，依次反射到CD．DA和AB上的点P₂．P₃和P₄（入射角等于反射角），设P₄坐标为（x₄，0），若1＜x₄＜2，则tanθ的取值范围是（ ）
A．（，1）
B．（，）
C．（，）
D．（，）

6. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC顶点A（-4，0）和C（4，0），顶点B在椭圆上，则=（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

（x+）⁵（x∈R）展开式中x³的系数为10，则实数a等于（ ）
A．-1
B．
C．1
D．2

8. 难度：中等

设直线l⊂平面α，过平面α外一点A与l，α都成30°角的直线有且只有（ ）
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条

9. 难度：中等

已知整数以按如下规律排成一列：（1，1）、（1，2）、（2，1）、（1，3）、（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），…，则第60个数对是（ ）
A．（10，1）
B．（2，10）
C．（5，7）
D．（7，5）

10. 难度：中等

已知双曲线E的中心为原点，P（3，0）是E的焦点，过P的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（-12，-15），则E的方程式为（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_2n=4（a₁+a₃+…+a_2n-1），a₁a₂a₃=27，则a₆=（ ）
A．27
B．81
C．243
D．729

12. 难度：中等

设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）=0，当x＞0时，有恒成立，则不等式x²f（x）＞0的解集是（ ）
A．（-2，0）∪（2，+∞）
B．（-2，0）∪（0，2）
C．（-∞，-2）∪（2，+∞）
D．（-∞，-2）∪（0，2）

二、解答题

13. 难度：中等

复数z满足z（2+i）=2i-1，则复数z的实部与虚部之和为     ．

14. 难度：中等

若正三棱锥的正视图与俯视图如图所示（单位：cm），则它的侧视图的面积为    cm²．

15. 难度：中等

若x，y满足约束条件目标函数z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，则a的取值范围是    ．

16. 难度：中等

如图所示，直线x=2与双曲线C：的渐近线交于E₁，E₂两点，记=，=，任取双曲线C上的点P，若=a+b，则实数a和b满足的一个等式是    ．

17. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量 =（sinA，b+c），=（a-c，sinC-sinB），满足|+|=|-|．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）设=（sin（C+），），=（2k，cos2A） （k＞1），•有最大值为3，求k的值．

18. 难度：中等

如图，在底面是正方形的四棱锥P-ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，PC=PD=CD=2．
（I）求证：PD⊥BC；
（II）求二面角B-PD-C的正切值．

19. 难度：中等

某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩（百分制）（均为整数）分成6组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题．
（Ⅰ）求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；
（Ⅱ）从频率分布直方图中，估计本次考试的平均分；
（Ⅲ）若从60名学生中随机抽取2人，抽到的学生成绩在[40，70）记0分，在[70，100]记1分，用X表示抽取结束后的总记分，求X的分布列和数学期望．

20. 难度：中等

已知m＞1，直线l：x-my-=0，椭圆C：+y²=1，F₁、F₂分别为椭圆C的左、右焦点．
（Ⅰ）当直线l过右焦点F₂时，求直线l的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，△AF₁F₂，△BF₁F₂的重心分别为G、H．若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围．

21. 难度：中等

已知函数的图象过坐标原点O，且在点（-1，f（-1））处的切线的斜率是-5．
（Ⅰ）求实数b，c的值；  
（Ⅱ）求f（x）在区间[-1，2]上的最大值；
（Ⅲ）对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上是否存在两点P、Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？说明理由．

22. 难度：中等

已知{a_n}是公差为d的等差数列，{b_n}是公比为q的等比数列
（1）若a_n=3n+1，是否存在m，n∈N^*，有a_m+a_m+1=a_k？请说明理由；
（2）若b_n=aqⁿ（a、q为常数，且aq≠0）对任意m存在k，有b_m•b_m+1=b_k，试求a、q满足的充要条件；
（3）若a_n=2n+1，b_n=3ⁿ试确定所有的p，使数列{b_n}中存在某个连续p项的和式数列中{a_n}的一项，请证明．