2012年上海市普陀区高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

函数的最小正周期是    ．

2. 难度：中等

的展开式中的常数项是    ．（用数字作答）

3. 难度：中等

函数的定义域是    ．

4. 难度：中等

是两个不共线的向量，已知，，且A，B，D三点共线，则实数k=    ．

5. 难度：中等

已知各项均为正数的等比数列{a_n}中，则此数列的各项和S=    ．

6. 难度：中等

已知直线l的方程为2x-y-3=0，点A（1，4）与点B关于直线l对称，则点B的坐标为    ．

7. 难度：中等

如图，该框图所对应的程序运行后输出的结果的值为    ．

8. 难度：中等

若双曲线的渐近线方程为y=±3x，它的一个焦点是，则双曲线的方程是    ．

9. 难度：中等

如图，需在一张纸上印上两幅大小完全相同，面积都是32cm²的照片，排版设计为纸上左右留空各3cm，上下留空各2.5cm，图间留空为1cm，照此设计，则这张纸的最小面积是    cm²．

10. 难度：中等

给出问题：已知△ABC满足a•cosA=b•cosB，试判断△ABC的形状，某学生的解答如下：
（i）a•⇔a²（b²+c²-a²）=b²（a²+c²-b²）⇔（a²-b²）•c²=（a²-b²）（a²+b²）⇔c²=a²+b²
故△ABC是直角三角形．
（ii）设△ABC外接圆半径为R，由正弦定理可得，原式等价于2RsinAcosA=2RsinBcosB⇔sin2A=cos2B⇔A=B
故△ABC是等腰三角形．
综上可知，△ABC是等腰直角三角形．
请问：该学生的解答是否正确？若正确，请在下面横线中写出解题过程中主要用到的思想方法；若不正确，请在下面横线中写出你认为本题正确的结果    ．

11. 难度：中等

已知数列{a_n}是等差数列，其前n项和为S_n，若S₁₀=20，S₂₀=60，则=    ．

12. 难度：中等

若一个底面边长为，侧棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，则此球的体积为    ．

13. 难度：中等

用红、黄、蓝三种颜色分别去涂图中标号为1，2，3，…9的个9小正方形（如图），需满足任意相邻（有公共边的）小正方形涂颜色都不相同，且标号“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法中，恰好满足“1、3、5、7、9”为同一颜色，“2、4、6、8”为同一颜色的概率为    ．

1	2	3
4	5	6
7	8	9

14. 难度：中等

设n∈N^*，a_n表示关于x的不等式的正整数解的个数，则数列{a_n}的通项公式a_n=    ．

二、选择题

15. 难度：中等

lgx，lgy，lgz成等差数列是由y²=zx成立的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

16. 难度：中等

设θ是直线l的倾斜角，且cosθ=a＜0，则θ的值为（ ）
A．π-arccosa
B．arccosa
C．-arccosa
D．π+arccosa

17. 难度：中等

设全集为R，集M={x|}，N={x|}，则集合{x|}可表示为（ ）
A．M∪N
B．M∩N
C．∁_RM∩N
D．M∩∁_RN

18. 难度：中等

对于平面α、β、γ和直线a、b、m、n，下列命题中真命题是（ ）
A．若a⊥m，a⊥n，m⊂α，n⊂α，则a⊥α
B．若a∥b，b⊂α，则a∥α
C．若a⊂β，b⊂β，a∥α，b∥α，则β∥α
D．若α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b则a∥b

三、解答题

19. 难度：中等

已知函数f（x）=kx+2，k≠0的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点，且，函数g（x）=x²-x-6．当满足不等式f（x）＞g（x）时，求函数y=的最小值．

20. 难度：中等

如图，已知圆锥体SO的侧面积为15π，底面半径OA和OB互相垂直，且OA=3，P是母线BS的中点．
（1）求圆锥体的体积；
（2）异面直线SO与PA所成角的大小（结果用反三角函数表示）．

21. 难度：中等

已知△ABC中，，记．
（1）求f（x）解析式及定义域；
（2）设g（x）=6m•f（x）+1，，是否存在正实数m，使函数g（x）的值域为？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．

22. 难度：中等

已知数列{a_n}是首项为2的等比数列，且满足
（1）求常数p的值和数列{a_n}的通项公式；
（2）若抽去数列中的第一项、第四项、第七项、…第3n-2项，…，余下的项按原来的顺序组成一个新的数列{b_n}，试写出数列
{b_n}的通项公式；
（3）在（2）的条件下，设数列{b_n}的前n项和为T_n，是否存在正整数n，使得？若存在，试求所有满足条件的正整数n的值，若不存在，请说明理由．

23. 难度：中等

设点F是抛物L：y²=2px（p＞0）的焦点，P₁，P₂，…，P_n是抛物线L上的n个不同的点n（n≥3，n∈N^*）．
（1）当p=2时，试写出抛物线L上三点P₁、P₂、P₃的坐标，时期满足；
（2）当n≥3时，若，求证：；
（3）当n＞3时，某同学对（2）的逆命题，即：“若，则”开展了研究并发现其为假命题．
请你就此从以下三个研究方向中任选一个开展研究：
1．试构造一个说明该命题确实是假命题的反例；
2．对任意给定的大于3的正整数n，试构造该假命题反例的一般形式，并说明你的理由：
3．如果补充一个条件后能使该命题为真，请写出你认为需要补充的一个条件，并说明加上该条件后，能使该逆命题为真命题的理由．