2012年江西省抚州市临川一中高三5月模拟数学试卷1（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合A={x|＜0}，B={x||x-1|＜a}，若“a=1”是“A∩B≠∅”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件

2. 难度：中等

已知表示复数Z的共轭复数，已知Z=1+i，则=（ ）
A．-1
B．1
C．i
D．-i

3. 难度：中等

某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的体积为 （ ）
A．4
B．8
C．12
D．24

4. 难度：中等

已知α是第二象限角，其终边上一点，且cosα=x，则=（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

在等比数列中，已知a₁a₈³a₁₅=243，则的值为（ ）
A．3
B．9
C．27
D．81

6. 难度：中等

△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，且，则向量在方向上的投影为（ ）
A．
B．3
C．
D．-3

7. 难度：中等

已知椭圆的焦点为F₁、F₂，在长轴A₁A₂上任取一点M，过M作垂直于A₁A₂的直线交椭圆于P，则使得的M点的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

阅读如图所示的程序框图，输出的结果S的值为（ ）

A．0
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，并满足：（1）f（x）=2a^xg（x），（a＞0，a≠1）；（2）g（x）≠0；
（3）f（x）g′（x）＜f′（x）g（x）且，则a=（ ）
A．
B．2
C．
D．2或

10. 难度：中等

已知直线y=k（x-3）与双曲线，有如下信息：联立方程组消去y后得到方程Ax²+Bx+C=0，分类讨论：
（1）当A=0时，该方程恒有一解；
（2）当A≠0时，△=B²-4AC≥0恒成立．在满足所提供信息的前提下，双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．[9，+∞）
B．（1，9]
C．（1，2]
D．[2，+∞）

二、解答题

11. 难度：中等

已知幂函数的图象与x轴、y轴无交点且关于原点对称，则m=    ．

12. 难度：中等

已知，则展开式中的常数项为     ．

13. 难度：中等

现有7件互不相同的产品，其中有4件次品，3件正品，每次从中任取一件测试，直到4件次品全被测出为止，则第三件次品恰好在第4次被测出的所有检测方法有    种．

14. 难度：中等

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，下列命题中正确的是    ．
①点P在线段BC₁上运动时，三棱锥C-D₁AP的体积不变；
②点P在线段BC₁上运动时，直线AP与平面ACD₁所成角的大小不变；
③点P在线段BC₁上运动时，二面角P-AD₁-C的大小不变；
④点P在线段BC₁上运动时，|PD|=|PA₁|恒成立．

15. 难度：中等

①在极坐标系中，点A（2，）到直线l：的距离为   
②（不等式选讲选做题） 设函数f（x）=|x-2|+x，g（x）=|x+1|，则g（x）＜f（x）成立时x的取值范围    ．

16. 难度：中等

已知函数．
（1）若方程f（x）=0在上有解，求m的取值范围；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C所对的边，当（1）中的m取最大值且f（A）=-1，b+c=2时，求a的最小值．

17. 难度：中等

某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A、B两个等级．对每种产品，两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，其余均为二等品．
（Ⅰ）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为A级的概率如表一所示，分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概率P_甲、P_乙；

产品\概率\工序	第一工序	第二工序
甲	0.8	0.85
乙	0.75	0.8

（Ⅱ）已知一件产品的利润如表二所示，用ξ、η分别表示一件甲、乙产品的利润，在（I）的条件下，求ξ、η的分布列及Eξ、Eη；

产品\利润\等级	一等	二等
甲	5（万元）	2.5（万元）
乙	2.5（万元）	1.5（万元）

（Ⅲ）已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表三所示．该工厂有工人40名，可用资金60万元．设x、y分别表示生产甲、乙产品的数量，在（II）的条件下，x、y为何值时，z=xEξ+yEη最大？最大值是多少？（解答时须给出图示）

产品\用量\项目	工人（名）	资金（万元）
甲	8	5
乙	2	10

18. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，P为A₁C₁的中点，AB=BC=kPA．
（I）当k=1时，求证PA⊥B₁C；
（II）当k为何值时，直线PA与平面BB₁C₁C所成的角的正弦值为，并求此时二面角A-PC-B的余弦值．

19. 难度：中等

设集合W是满足下列两个条件的无穷数列{a_n}的集合：①②a_n≤M，其中n∈N^*，M是与n无关的常数
（1）若{a_n}是等差数列，S_n是其前n项的和，a₃=4，S₃=18，试探究{S_n}与集合W之间的关系；
（2）设数列{b_n}的通项为b_n=5n-2ⁿ，且{b_n}∈W，M的最小值为m，求m的值；
（3）在（2）的条件下，设，求证：数列{C_n}中任意不同的三项都不能成为等比数列．

20. 难度：中等

在平面直角坐标系中，已知，若实数λ使得（O为坐标原点）
（1）求P点的轨迹方程，并讨论P点的轨迹类型；
（2）当时，若过点B（0，2）的直线l与（1）中P点的轨迹交于不同的两点E，F（E在B，F之间），试求△OBE与OBF面积之比的取值范围．

21. 难度：中等

已知函数（1）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，求正实数a的取值范围；（2）讨论函数f（x）的单调性；（3）当a=1时，求证：对大于1的任意正整数n，都有．