2012年江苏省盐城中学高考数学二模试卷（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知x，y∈R，i为虚数单位，且（x-2）i-y=-1+i，则x+y=    ．

2. 难度：中等

已知集合A=[1，5），B=（-∞，a），若A⊆B，则实数a的取值范围是     ．

3. 难度：中等

高三（1）班共有56人，学号依次为1，2，3，┅，56，现用系统抽样的办法抽取一个容量为4的样本，已知学号为6，34，48的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为     ．

4. 难度：中等

函数y=sin（πx+φ）（φ＞0）的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A，B是图象与x轴的交点，则tan∠APB=    ．

5. 难度：中等

如图中的伪代码运行结果为    ．

6. 难度：中等

已知集合A={-2，0，1，3}在平面直角坐标系中，点M（x，y）的坐标x∈A，y∈A．则点M不在x轴上的概率是    ．

7. 难度：中等

在平面直角坐标系xoy中，直线ax+2y+3a=0和直线3x（a-1）y=a-7平行的充要条件是    ．

8. 难度：中等

已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，则下列四个命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β
其中正确命题的序号是    ．

9. 难度：中等

变量x，y满足，设z=x²+y²，则z的取值范围是    ．

10. 难度：中等

已知{a_n}是等比数列，a₂=2，，则S_n=a₁+a₂+…+a_n（n∈N^*）的取值范围是    ．

11. 难度：中等

一同学为研究函数f（x）=+（0≤x≤1）的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD和BEFC点P是边BC上的一动点，设CP=x，则AP+PF=f（x），请你参考这些信息，推知函数g（x）=4f（x）-9的零点的个数是    ．

12. 难度：中等

如图，点A，F分别是椭圆（a＞b＞0）的上顶点和右焦点，直线AF与椭圆交于另一点B，过中心O作直线AF的平行线交椭圆于C，D两点，若=，则椭圆的离心率为    ．

13. 难度：中等

已知圆O：x²+y²=1，O为坐标原点，若正方形ABCD的一边AB为圆O的一条弦，则线段OC长度的最大值是    ．

14. 难度：中等

设函数f（x）=e^x+sinx，g（x）=x．若存在x₁，x₂∈[0，+∞）使得f（x₁）=g（x₂）成立，则x₂-x₁的最小值是    ．

15. 难度：中等

如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ABD=90°，EB⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，BE=，EF=1，BC=，且M是BD的中点．
（I）求证：EM∥平面ADF；
（II）求证：平面BDE⊥平面ABEF；
（Ⅲ）求三棱锥A-DEF的体积．

16. 难度：中等

已知函数f（x）=sinx+cos（x-），x∈R．
（I）求f（x）的单调增区间及f（x）图象的对称轴方程；
（II）设△ABC中，角A、B的对边分别为a、b，若B=2A，且b=2af（A-），求角C的大小．

17. 难度：中等

如图，已知曲线C：（a＞0），曲线C与x轴相交于A、B两点，直线l过点B且与x轴垂直，点S是直线l上异于点B的任意一点，线段SA与曲线C交于点T，线段TB与以线段SB为直径的圆相交于点M．
（I）若点T与点M重合，求的值；
（II）若点O、M、S三点共线，求曲线C的方程．

18. 难度：中等

满足一定条件的三角形如果周长和面积同时取得最小值（或最大值），则称此三角形为“周积三角形”．如图所示的△ABC满足∠BAC=120°，AD是∠BAC的平分线，且AD=1．设AB=x，AC=y．
（I）将y表示成x的函数；
（II）判断此三角形是否为“周积三角形”，并说明理由．

19. 难度：中等

对任意x∈R，给定区间[k-，k+]（k∈z），设函数f（x）表示实数x与x的给定区间内
整数之差的绝对值．
（1）当时，求出f（x）的解析式；当x∈[k-，k+]（k∈z）时，写出用绝对值符号表示的f（x）的解析式；
（2）求的值，判断函数f（x）（x∈R）的奇偶性，并证明你的结论；
（3）当时，求方程的实根．（要求说明理由）

20. 难度：中等

已知某数列的前三项分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且前三项中任何两个数不在下表的同一列．

	第一列	第二列	第三列
第一行	3	2	10
第二行	14	4	6
第三行	18	9	8

若此数列是等差数列，记作{a_n}，若此数列是等比数列，记作{b_n}．
（I）求数列{a_n}和数列{b_n}的通项公式；
（II）将数列{a_n}的项和数列{b_n}的项依次从小到大排列得到数列{c_n}，数列{c_n}的前n项和为S_n，试求最大的自然数M，使得当n≤M时，都有S_n≤2012．
（Ⅲ）若对任意n∈N，有a_n+1b_n+λb_nb_n+1≥a_nb_n+1成立，求实数λ的取值范围．

21. 难度：中等

[选做题]在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内．
A．（选修4-1：几何证明选讲）
过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A，B，且PB=7，∠ABP=∠ABC，C是圆上一点使得BC=5，求线段AB的长．
B．（选修4-2：矩阵与变换）
求曲线C：xy=1在矩阵对应的变换作用下得到的曲线C′的方程．
C．（选修4-4：坐标系与参数方程）
已知曲线C₁：（θ为参数）和曲线C₂：ρsin（θ-）=．
（1）将两曲线方程分别化成普通方程；
（2）求两曲线的交点坐标．
D．（选修4-5：不等式选讲）
已知|x-a|＜，|y-b|＜，求证：|2x-3y-2a+3b|＜c．

22. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，M为PD的中点，PA=AB．
（I）求直线BC与平面ACM所成角的正弦值；
（II）求平面PAB与平面ACM所成锐二面角的余弦值．

23. 难度：中等

某汽车驾驶学校在学员结业前，对学员的驾驶技术进行4次考核，规定：按顺序考核，一旦考核合格就不必参加以后的考核，否则还需参加下次考核．若学员小李独立参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为的等差数列，他参加第一次考核合格的概率超过，且他直到参加第二次考核才合格的概率为．
（1）求小李第一次参加考核就合格的概率p．；
（2）求小李参加考核的次数ξ的分布列和数学期望Eξ．