2012年上海市宝山区高考数学一模试卷（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知等差数列{a_n}，a₂=-2，a₆=4，则a₄=    ．

2. 难度：中等

方程x²-2x+5=0的复数根为    ．

3. 难度：中等

不等式＜0的解集是    ．

4. 难度：中等

已知集合A={x||x-6|≤2}，B={x|y=lg（）}，则A∩B=    ．

5. 难度：中等

已知复数z满足|z|=z+，则z=    ．

6. 难度：中等

如图，若执行程序框图，则输出的结果是    ．

7. 难度：中等

方程组x+y=的解是    ．

8. 难度：中等

某科技小组有6名同学，现从中选出3人参观展览，至少有1名女生入选的概率为，则小组中女生人数为    ．

9. 难度：中等

用数学归纳法证明1+a+a²+…+aⁿ⁺¹=（a≠1），在验证n=1时，左端计算所得的项为    ．

10. 难度：中等

过抛物线y²=2x的焦点F，倾斜角为的直线l交抛物线于A，B（x_A＞x_B），则的值    ．

11. 难度：中等

若奇函数y=f（x）的定义域为[-4，4]，其部分图象如图所示，则不
等式f（x）ln（2^x-1）＜0的解集是    ．

12. 难度：中等

已知△ABC三条边分别为a，b，c，A，B，C成等差数列，若b=2，则a+c的最大值为    ．

13. 难度：中等

两个圆锥有等长的母线，它们的侧面展开图恰好拼成一个圆，若它们的侧面积之比为1：2，则它们的体积比是    ．

14. 难度：中等

设f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+3）=f（x），f（1）＞1，f（2）=，则实数m的取值范围是    ．

二、选择题

15. 难度：中等

已知l，m，n是空间三条直线，则下列命题正确的是（ ）
A．若l∥m，l∥n，则m∥n
B．若l⊥m，l⊥n，则m∥n
C．若点A、B不在直线l上，且到l的距离相等，则直线AB∥l
D．若三条直线l，m，n两两相交，则直线l，m，n共面

16. 难度：中等

已知，S_n是数列{a_n}的前n项和（ ）
A．和都存在
B．和都不存在
C．存在，不存在
D．不存在，存在

17. 难度：中等

若=（2，3），=（-4，7），则在方向上的投影为（ ）
A．
B．
C．
D．

18. 难度：中等

一质点受到平面上的三个力F₁，F₂，F₃（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知F₁，F₂成60°角，且F₁，F₂的大小分别为2和4，则F₃的大小为（ ）
A．6
B．2
C．2
D．2

三、解答题

19. 难度：中等

已知函数f（x）=2sin²x-2sinxcosx-1+的定义域为[0，]，求函数y=f（x）的值域和零点．

20. 难度：中等

如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 的棱长为2，E，F分别是BB₁，CD的中点．
（1）求三棱锥E-AA₁F的体积；
（2）求异面直线EF与AB所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=．
（1）当a=b=1时，求满足f（x）≥3^x的x的取值范围；
（2）若y=f（x）的定义域为R，又是奇函数，求y=f（x）的解析式，判断其在R上的单调性并加以证明．

22. 难度：中等

已知椭圆的焦点F₁（1，0），F₂（-1，0），过P（0，）作垂直于y轴的直线被椭圆所截线段长为，过F₁作直线l与椭圆交于A、B两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若A是椭圆与y轴负半轴的交点，求△PAB的面积；
（3）是否存在实数t使，若存在，求t的值和直线l的方程；若不存在，说明理由．

23. 难度：中等

已知函数f（x）=log₂x，若2，f（a₁），f（a₂），f（a₃），…，f（a_n），2n+4，…，（n∈N^*）成等差数列．
（1）求数列{a_n}（n∈N^*）的通项公式；
（2）设g（k）是不等式log₂x+log₂（3）≥2k+3（k∈N^*）整数解的个数，求g（k）；
（3）记数列的前n项和为S_n，是否存在正数λ，对任意正整数n，k，使S_n-λ＜λ²恒成立？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．