2012年江苏省苏州大学高考数学考前指导试卷（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

若（a+3i）i=b+i，其中a，b∈R，i是虚数单位，则a-b=    ．

2. 难度：中等

已知集合A={x|x²-4x≤0，x∈Z}，B={y|y=log₂（x+1），x∈A}，则A∩B=    ．

3. 难度：中等

如图茎叶图表示的是甲，乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为    ．

4. 难度：中等

若某算法流程图如图所示，则输出的n值是    ．

5. 难度：中等

已知双曲线C：（m＞0）的离心率为2，则该双曲线渐近线的斜率是    ．

6. 难度：中等

设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若8a₂+a₅=0，则的值为    ．

7. 难度：中等

已知f（x）=sinx，x∈R，g（x）的图象与f（x）的图象关于点对称，则在区间[0，2π]上满足f（x）≤g（x）的x的取值范围是    ．

8. 难度：中等

已知=2，=3，=4，…若=4，（a，t均为正实数），则类比以上等式，可推测a，t的值，a+t=    ．

9. 难度：中等

过直线l：y=2x上一点P做圆的两条切线l₁，l₂，A，B为切点，当直线l₁，l₂关于直线l对称时，则∠APB=    ．

10. 难度：中等

已知函数f（x）=|x²-6|，若a＜b＜0，且f（a）=f（b），则a²b的最小值是    ．

11. 难度：中等

点P（x，y）是曲线C：（x＞0）上的一个动点，曲线C在点P处的切线与x轴、y周分别交于A，B两点，点O是坐标原点．给出三个命题：①PA=PB；②△OAB的面积为定值；③曲线C上存在两点M，N，使得△OMN为等腰直角三角形．其中真命题的个数是    ．

12. 难度：中等

在△ABC中，E，F分别是边AC，AB的中点，且3AB=2AC，若恒成立，则t的最小值为    ．

13. 难度：中等

对于函数y=f（x），若存在区间[a，b]，当x∈[a，b]时，f（x）的值域为[ka，kb]（k＞0），则称y=f（x）为k倍值函数．若f（x）=lnx+x是k倍值函数，则实数k的取值范围是    ．

14. 难度：中等

如图所示，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D，若，则m+n的取值范围是    ．

15. 难度：中等

已知函数f（x）=．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和值域；
（Ⅱ）若a为第二象限角，且，求的值．

16. 难度：中等

平面ABDE⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=4，四边形ABDE是直角梯形，BD∥AE，BD⊥BA，AE=2BD=4，O、M分别为CE、AB的中点．
（Ⅰ） 证明：OD∥平面ABC；
（Ⅱ）能否在EM上找一点N，使得ON⊥平面ABDE？若能，请指出点N的位置，并加以证明；若不能，请说明理由．

17. 难度：中等

如图，有一位于A处的雷达观测站发现其北偏东45°，与A相距海里的B处有一货船正以匀速直线行驶，20分钟后又测得该船只位于观测站A北偏东45°+θ（其中，0°＜θ＜45°）且与观测站A相距海里的C处．
（1）求该船的行驶速度v（海里/小时）；
（2）在离观测站A的正南方20海里的E处有一暗礁（不考虑暗礁的面积），如果货船不改变航向继续前行，该货船是否有触礁的危险？试说明理由．

18. 难度：中等

已知椭圆和圆，左顶点和下顶点分别为A，B，且F是椭圆C₁的右焦点．
（1）若点P是曲线C₂上位于第二象限的一点，且△APF的面积为，求证：AP⊥OP；
（2）点M和N分别是椭圆C₁和圆C₂上位于y轴右侧的动点，且直线BN的斜率是直线BM斜率的2倍，求证：直线MN恒过定点．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=（mx+n）e^-x（m，n∈R，e是自然对数的底）
（1）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+ey-3=0，试确定函数f（x）的单调区间；
（2）①当n=-1，m∈R时，若对于任意，都有f（x）≥x恒成立，求实数m的最小值；
②当m=n=1时，设函数g（x）=xf（x）+tf'（x）+e^-x（t∈R），是否存在实数a，b，c∈[0，1]，使得g（a）+g（b）＜g（c）？若存在，求出t的取值范围；若不存在，说明理由．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}中，a₁=1，n∈N^*，a_n＞0，数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）数列{S_n}中存在若干项，按从小到大的顺序排列组成一个以S₁为首项，3为公比的等比数列{b_n}，
①求数列{b_n}的项数k与n的关系式k=k（n）；
②记，求证：．