2012年上海市闸北区高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

设复数z满足i（z-1）=3-z，其中i为虚数单位，则|z|=    ．

2. 难度：中等

计算 =    ．

3. 难度：中等

设f（x）=（x-1）²（x≤1），则f^-1（4）=    ．

4. 难度：中等

若以为增广矩阵的线性方程组有唯一一组解，则实数a的取值范围为    ．

5. 难度：中等

在的二项展开式中，x³的系数是    （用数字作答）．

6. 难度：中等

从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量为（单位：克）：125 124 121 123 127，则该样本标准差s=    （克）（用数字作答）．

7. 难度：中等

已知曲线C₁，C₂的极坐标方程分别为ρcosθ=3，，则曲线C₁与C₂交点的极坐标为    ．

8. 难度：中等

设定点A（-1，-2）、B（1，2），动点P（x，y）满足：，则动点P的轨迹方程为    ．

9. 难度：中等

设直线m与平面α相交但不垂直，则下列所有正确的命题序号是    ．
①在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直；
②与直线m平行的直线不可能与平面α垂直；
③与直线m垂直的直线不可能与平面α平行；
④与直线m平行的平面不可能与平面α垂直．

10. 难度：中等

某校学生在上学路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2分钟．则该校某个学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的均值等于    分钟．

11. 难度：中等

若关于x的不等式ax+b＞2（x+1）的解集为{x|x＜1}，则b的取值范围为    ．

12. 难度：中等

某城区从某年开始的绿化总面积y（万平方米）与时间x（年）的关系为y=1.15^x．则该城区绿化总面积从4万平方米到12万平方米所用的时间为    年．（四舍五入取整）

13. 难度：中等

若2|x-1|+|x-a|≥2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为    ．

14. 难度：中等

对于任意的平面向量，定义新运算⊕：．若为平面向量，k∈R，则下列运算性质一定成立的所有序号是    ．
①=；    ②；    ③
④；     ⑤．

二、选择题

15. 难度：中等

圆x²+y²-2y-1=0关于直线x+y=0对称的圆方程是（ ）
A．
B．（x+1）²+y²=2
C．
D．（x-1）²+y²=2

16. 难度：中等

设函数f（x）的图象关于y轴对称，又已知f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（1）=0，则不等式的解集为（ ）
A．（-1，0）∪（0，1）
B．（-1，0）∪（1，+∞）
C．（-∞，-1）∪（0，1）
D．（-∞，-1）∪（1，+∞）

17. 难度：中等

若干毫升水倒入底面半径为2cm的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6cm，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（ ）
A．
B．6cm
C．
D．

18. 难度：中等

设{a_n}是公比为q的等比数列，首项，对于n∈N^*，，当且仅当n=4时，数列{b_n}的前n项和取得最大值，则q的取值范围为（ ）
A．
B．（3，4）
C．
D．

三、解答题

19. 难度：中等

如图，菱形ABCD中，AB=AC=1，其对角线的交点为O，现将△ADC沿对角线AC向上翻折，使得OD⊥OB．在四面体ABCD中，E在AB上移动，点F在DC上移动，且AE=CF=a（0≤a≤1）．
（1）求线段EF的最大值与最小值；
（2）当线段EF的长最小时，求异面直线AC与EF所成角θ的大小．

20. 难度：中等

已知函数，．
（I）设x=x是函数y=f（x）图象的一条对称轴，求g（x）的值；
（II）求函数h（x）=f（x）+g（x）的单调递增区间．

21. 难度：中等

某市一家庭一月份、二月份、三月份天然气用量和支付费用如表所示：

月份	用气量（立方米）	支付费用（元）
一	4	8
二	20	38
三	26	50

该市的家用天然气收费方法是：天然气费=基本费+超额费+保险费．现已知，在每月用气量不超过A立方米时，只交基本费6元；每户的保险费是每月C元（C≤5）；用气量超过A立方米时，超过部分每立方米付B元．设当该家庭每月用气量x立方米时，所支付费用为y元．求y关于x的函数解析式．

22. 难度：中等

设椭圆C：x²+2y²=2b²（常数b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，M，N是直线l：x=2b上的两个动点，．
（1）若，求b的值；
（2）求|MN|的最小值．

23. 难度：中等

如图，P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n），…是曲线上的点，A₁（a₁，0），A₂（a₂，0），…，A_n（a_n，0），…是x轴正半轴上的点，且△AA₁P₁，△A₁A₂P₂，…，△A_n-1A_nP_n，…均为斜边在x轴上的等腰直角三角形（A为坐标原点）．
（1）写出a_n-1、a_n和x_n之间的等量关系，以及a_n-1、a_n和y_n之间的等量关系；
（2）猜测并证明数列{a_n}的通项公式；
（3）设，集合B={b₁，b₂，b₃，…，b_n，…}，A={x|x²-2ax+a²-1＜0，x∈R}，若A∩B=∅，求实常数a的取值范围．