2012年上海市五校联合高三教学调研数学试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

若复数z满足满足z（1+i）=2，则z的虚部是    ．

2. 难度：中等

已知向量和向量，则=    ．

3. 难度：中等

已知集合A={x||x-2|＜1，x∈R}，B={y|y=-x²+a，x∈R}，若A⊆B，则实数a的取值范围为    ．

4. 难度：中等

关于x、y的二元线性方程组的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为，则二阶行列式=    ．

5. 难度：中等

已知二项式的展开式中各项系数和为729，则展开式中的常数项为    ．

6. 难度：中等

函数的值域为    ．

7. 难度：中等

在极坐标系中，直线C₁：ρcosθ-ρsinθ=1与直线C₂：ρsinθ-2ρcosθ=1的夹角大小为    ．（用反三角表示）

8. 难度：中等

如程序框图所示，输出的x、y，则y-x=    ．

9. 难度：中等

已知棱长为2的正方体内接于球O，则正方体任意棱的两个端点的球面距离为    ．（用反三角表示）

10. 难度：中等

有甲、乙两台相同的机器，它们互相独立工作，已知这两台机器在一天内发生故障的概率都是20%，一台机器一旦故障当天就亏损5万元无任意利润；若一台机器正常工作一天则可获利润10万元，则甲、乙两台机器在一天内的利润期望为    万元．

11. 难度：中等

已知O为原点，，动点P在直线2x+2y=1上运动，若从动点P向Q点的轨迹引切线，则所引切线长的最小值为    ．

12. 难度：中等

函数f（x）=log_a（x+2）-1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点P，若P在直线mx+ny+1=0上，其中m＞0，n＞0，则的最小值为    ．

13. 难度：中等

已知数列{a_n}、{b_n}都是公差为1的等差数列，其首项分别为a₁、b₁，且a₁+b₁=5，a₁、b₁∈N^*，设c_n=（n∈N^*），则数列{c_n}的前n项和等于    ．

14. 难度：中等

将杨辉三角中的每一个数C_n^r都换成，就得到一个如下图所示的分数三角形，成为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可看出，其中x=r+1，令，则=   

二、选择题

15. 难度：中等

在△ABC中，若cosBcosC-sinBsinC≥0，则这个三角形一定不是（ ）
A．钝角三角形
B．直角三角形
C．锐角三角形
D．以上都有可能

16. 难度：中等

在实数集R上定义运算⊗：x⊗y=2x²+y²+1-y，则满足x⊗y=y⊗x的实数对（x，y）在平面直角坐标系中对应点的轨迹为（ ）
A．双曲线
B．一条直线
C．两条直线
D．以上都不对

17. 难度：中等

对于实数x，用[x]表示不超过x的最大整数，如[0.98]=0，[1.2]=1，若n∈N^*，a_n=，S_n为数列{a_n}的前n项和，则S_4n为（ ）
A．2n²-n
B．2n²-2n
C．2n²+n
D．2n²+2n

18. 难度：中等

方程lgx²=6-（|x|-2010）（|x|-2012）的解的个数为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8

三、解答题

19. 难度：中等

如图，该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径BC=4，AB=AC，∠BAC=90°，D为半圆弧的中点，若异面直线BD和AB₁所成角的大小为arccos，求：
（1）该几何体的体积；
（2）直线AD与平面ACC₁A₁所成角的大小．

20. 难度：中等

已知△ABC的面积为3，并且满足，设与的夹角为θ．
（1）求θ的取值范围；
（2）求函数的零点．

21. 难度：中等

已知奇函数f（x）=log₂（a+x）-log₂（a-x）（a＞0），定义域为（b，b+2）（定义域是指使表达式有意义的实数x的集合）．
（1）求实数a和b的值，并证明函数f（x）在其定义域上是增函数；
（2）设f（x）的反函数为f^-1（x），若不等式f^-1（x）≤m•2^x对于x∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．

22. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足，设．
（1）求证：{b_n}为等差数列；
（2）若，求的值；
（3）是否存在正实数k，使得对任意n∈N*都成立？若存在，求实数k的取值范围；若不存在，请说明理由．

23. 难度：中等

如图，设抛物线方程为x²=2py（p＞0），M为直线l：y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A、B．
（1）设抛物线上一点P到直线l的距离为d，F为焦点，当时，求抛物线方程；
（2）若M（2，-2），求线段AB的长；
（3）求M到直线AB的距离的最小值．