2012年江苏省苏锡常镇四市高考数学二模试卷（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

设集合A=（-1，1]，B=（0，2），则A∪B=    ．

2. 难度：中等

若复数z满足（i为虚数单位），则z=    ．

3. 难度：中等

已知双曲线的一条渐近线方程为，则m的值为    ．

4. 难度：中等

已知某人连续5次投掷飞镖的环数分别是8，9，10，10，8，则该组数据的方差s²    ．

5. 难度：中等

如图，边长为2的正方形内有一个半径为1的半圆．向正方形内任投一点（假设该点落在正方形内的每一点都是等可能的），则该点落在半圆内的概率为    ．

6. 难度：中等

已知4张卡片（大小，形状都相同）上分别写有1，2，3，4，从中任取2张，则这2张卡片中最小号码是2的概率为    ．

7. 难度：中等

等比数列{a_n}中，若a₃=3，a₆=24，则a₈的值为    ．

8. 难度：中等

已知钝角α满足，则的值为    ．

9. 难度：中等

已知函数则f（log₃2）的值为    ．

10. 难度：中等

已知点P在△ABC所在平面内，若，则△PAB与△PBC的面积的比值为    ．

11. 难度：中等

设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题：
（1）若α∥β，m⊂β，n⊂α，则m∥n；
（2）若α∥β，m⊥β，n∥α，则m⊥n；
（3）若α⊥β，m⊥α，n∥β，则m∥n；
（4）若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n．
上面命题中，所有真命题的序号为    ．

12. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，已知点P在曲线xy=1（x＞0）上，点P在x轴上的射影为M．若点P在直线x-y=0的下方，当取得最小值时，点P的坐标为    ．

13. 难度：中等

已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F．设线段AB的中点为M，若，则该椭圆离心率的取值范围为    ．

14. 难度：中等

设实数n≤6，若不等式2xm+（2-x）n-8≥0对任意x∈[-4，2]都成立，则的最小值为    ．

15. 难度：中等

如图，在四边形ABCD中，已知AB=13，AC=10，AD=5，CD=，
（1）求cos∠BAC的值；
（2）求sin∠CAD的值；
（3）求△BAD的面积．

16. 难度：中等

如图，在三棱锥S-ABC，平面EFGHBC，CA，AS，SB交与点E，F，G，H，且SA⊥平面EFGH，SA⊥AB，EF⊥FG．
（1）AB∥平面EFGH；
（2）GH∥EF；
（3）GH⊥平面SAC．

17. 难度：中等

如图，已知矩形油画的长为a，宽为b．在该矩形油画的四边镶金箔，四个角（图中斜线区域）装饰矩形木雕，制成一幅矩形壁画．设壁画的左右两边金箔的宽为x，上下两边金箔的宽为y，壁画的总面积为S．
（1）用x，y，a，b表示S；
（2）若S为定值，为节约金箔用量，应使四个矩形木雕的总面积最大．求四个矩形木雕总面积的最大值及对应的x，y的值．

18. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x²+y²=64，圆O₁与圆O相交，圆心为O₁（9，0），且圆O₁上的点与圆O上的点之间的最大距离为21．
（1）求圆O₁的标准方程；
（2）过定点P（a，b）作动直线l与圆O，圆O₁都相交，且直线l被圆O，圆O₁截得的弦长分别为d，d₁．若d与d₁的比值总等于同一常数λ，求点P的坐标及λ的值．

19. 难度：中等

已知a为正实数，函数（e为自然对数的底数）．
（1）若f（0）＞f（1），求a的取值范围；
（2）当a=2时，解不等式f（x）＜1；
（3）求函数f（x）的单调区间．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}的前三项分别为a₁=5，a₂=6，a₃=8，且数列{a_n}的前n项和S_n满足，其中m，n为任意正整数．
（1）求数列{a_n}的通项公式及前n项和S_n；
（2）求满足的所有正整数k，n．

21. 难度：中等

选做题
A．选修4-1：几何证明选讲
如图，自⊙O外一点P作⊙O的切线PC和割线PBA，点C为切点，割线PBA交⊙O于A，B两点，点O在AB上．作CD⊥AB，垂足为点D．
求证：．
B．选修4-2：矩阵与变换
设a，b∈R，若矩阵把直线l：y=2x-4变换为直线l′：y=x-12，求a，b的值．
C．选修4-4：坐标系与参数方程
求椭圆C：=1上的点P到直线l：3x+4y+18=0的距离的最小值．
D．选修4-5不等式选讲
已知非负实数x，y，z满足x²+y²+z²+x+2y+3z=，求x+y+z的最大值．

22. 难度：中等

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4，AD=2，AA₁=2，F是棱BC的中点，点E在棱C₁D₁上，且D₁E=λEC₁（λ为实数）．
（1）当时，求直线EF与平面D₁AC所成角的正弦值的大小；
（2）求证：直线EF不可能与直线EA垂直．

23. 难度：中等

记，其中x，y为正实数，n∈N₊．给定正实数a，b满足．用数学归纳法证明：对于任意正整数n，f_n（a，b）≥f_n（2，2）．