2012年江苏省苏州市高三一模考前适应性考试数学试卷（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

复数z=（1+3i）i（i是虚数单位），则z的实部是    ．

2. 难度：中等

已知集合A={x|-1≤x≤2}，B={x|x＜1}，则A∩（∁_RB）=    ．

3. 难度：中等

为了抗震救灾，现要在学生人数比例为2：3：5的A、B、C三所高校中，用分层抽样方法抽取n名志愿者，若在A高校恰好抽出了6名志愿者，那么n=    ．

4. 难度：中等

设f（x）=x²-2x-3（x∈R），则在区间[-π，π]上随机取一个数x，使f（x）＜0的概率为    ．

5. 难度：中等

设函数f（x）=x²+lnx，若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=ax+b，则a+b=    ．

6. 难度：中等

如图是一个算法的流程图，则输出a的值是    ．

7. 难度：中等

已知向量，则|2-3|=    ．

8. 难度：中等

设双曲线的渐近线方程为2x±3y=0，则双曲线的离心率为    ．

9. 难度：中等

双曲线的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域（不含边界），若点（1，2）在“上”区域内，则双曲线离心率e的取值范围是    ．

10. 难度：中等

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长均等于1，且∠A₁AB=∠A₁AC=60°，则该三棱柱的体积是    ．

11. 难度：中等

过直线l：y=2x上一点P作圆C：（x-8）²+（y-1）²=2的切线l₁，l₂，若l₁，l₂关于直线l对称，则点P到圆心C的距离为    ．

12. 难度：中等

已知数列{a_n}满足，则数列{a_n}的前100项的和为    ．

13. 难度：中等

已知△ABC的三边长a，b，c满足b+2c≤3a，c+2a≤3b，则的取值范围为    ．

14. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，点P是第一象限内曲线y=-x³+1上的一个动点，点P处的切线与两个坐标轴交于A，B两点，则△AOB的面积的最小值为    ．

15. 难度：中等

已知函数．
（1）求的值；
（2）求f（x）的最大值及相应x的值．

16. 难度：中等

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，E、F分别为A₁C₁、B₁C₁的中点，D为棱CC₁上任一点．
（Ⅰ）求证：直线EF∥平面ABD；
（Ⅱ）求证：平面ABD⊥平面BCC₁B₁．

17. 难度：中等

已知 A、B两地相距2R，以AB为直径作一个半圆，在半圆上取一点C，连接AC、BC，在三角形ABC内种草坪（如图），M、N分别为弧AC、弧BC的中点，在三角形AMC、三角形BNC上种花，其余是空地．设花坛的面积为S₁，草坪的面积为S₂，取∠ABC=θ．
（1）用θ及R表示S₁和S₂；
（2）求的最小值．

18. 难度：中等

如图，在直角坐标系中，A，B，C三点在x轴上，原点O和点B分别是线段AB和AC的中点，已知AO=m（m为常数），平面上的点P满足PA+PB=6m．
（1）试求点P的轨迹C₁的方程；
（2）若点（x，y）在曲线C₁上，求证：点一定在某圆C₂上；
（3）过点C作直线l，与圆C₂相交于M，N两点，若点N恰好是线段CM的中点，试求直线l的方程．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足2S_n=pa_n-2n，n∈N^*，其中常数p＞2．
（1）证明：数列{a_n+1}为等比数列；
（2）若a₂=3，求数列{a_n}的通项公式；
（3）对于（2）中数列{a_n}，若数列{b_n}满足b_n=log₂（a_n+1）（n∈N^*），在b_k与b_k+1之间插入2^k-1（k∈N^*）个2，得到一个新的数列{c_n}，试问：是否存在正整数m，使得数列{c_n}的前m项的和T_m=2011？如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由．

20. 难度：中等

已知常数a＞0，函数
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若0＜a≤2，求f（x）在区间[1，2]上的最小值g（a）；
（3）是否存在常数t，使对于任意时，f（x）f（2t-x）+f²（t）≥[f（x）+f（2t-x）]f（t）恒成立，若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

21. 难度：中等

（选做题）如图，PA与⊙O相切于点A，D为PA的中点，过点D引割线交⊙O于B，C两点，求证：∠DPB=∠DCP．

22. 难度：中等

（选做题）已知矩阵的一个特征值为3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量．

23. 难度：中等

（选做题）在极坐标系中，圆C的方程为，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），判断直线l和圆C的位置关系．

24. 难度：中等

（选修4-5：不等式选讲）
求函数 最大值．

25. 难度：中等

已知动圆P过点且与直线相切．
（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点F作一条直线交轨迹C于A，B两点，轨迹C在A，B两点处的切线相交于点N，M为线段AB的中点，求证：MN⊥x轴．

26. 难度：中等

甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为（0＜a＜1），三人各射击一次，击中目标的次数记为ξ．
（1）求ξ的分布列及数学期望；
（2）在概率P（ξ=i）（i=0，1，2，3）中，若P（ξ=1）的值最大，求实数a的取值范围．