2012年全国高考数学领航试卷2（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M={-1，1}，，则M∩N=（ ）
A．{-1，1}
B．{-1}
C．{0}
D．{-1，0}

2. 难度：中等

已知△ABC内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，若a=3，b=2，∠A=60°，则cosB=（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

已知四棱锥的俯视图是边长为2的正方形及其对角线（如图），主视图与左视图都是边长为2的正三角形，则其全面积是（ ）

A．4
B．4+4
C．8
D．12

4. 难度：中等

已知D是△ABC所在平面上任意一点，若（）•（）=0，则△ABC一定是（ ）
A．直角三角形
B．等腰直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形

5. 难度：中等

若e是自然对数的底数，则=（ ）
A．-1
B．1-
C．1-e
D．e-1

6. 难度：中等

茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知0＜θ＜π，tan（θ+）=，那么sinθ+cosθ=（ ）
A．-
B．
C．-
D．

8. 难度：中等

设l、m是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列5个命题：
①若m⊥α，l⊥β，则l∥α；
②若m⊥α，l⊂β，l∥m，则α⊥β；
③若α∥β，l⊥α，m∥β，则l⊥m；
④若α∥β，l∥α，m⊂β，则l∥m；
⑤若α⊥β，α∩β=l，m⊥l，则m⊥β．
其中正确命题的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

9. 难度：中等

设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）单调递减，若数列{a_n}是等差数列，且a₃＜0，则f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+f（a₄）+f（a₅）的值（ ）
A．恒为正数
B．恒为负数
C．恒为0
D．可正可负

10. 难度：中等

已知实数x、y足约束条件，若使得目标函数ax+y取最大值时有唯一最优解（1，3），则实数a的取值范围是（ ）
A．[-2，-1]
B．（-∞，-2]
C．（-∞，-1）
D．（-∞，-1）∪（1，+∞）

11. 难度：中等

函数y=的值域是（ ）
A．[0，+∞）
B．（-∞，+∞）
C．[1，+∞）
D．（-∞，-1]∪[1，+∞）

12. 难度：中等

过双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点F（-c，0）作圆x²+y²=a²的切线，切点为E，延长FE交抛物线y²=4cx于点P，若E为线段FP的中点，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．+1
D．

二、解答题

13. 难度：中等

复平面内，复数（i是虚数单位）对应的点在第    象限．

14. 难度：中等

执行程序框图，若输入P=2时，那么输出的a=    ．

15. 难度：中等

在△ABC中，若A（2，3），B（-2，0），C（2，0），则∠BAC的角平分线所在直线l的方程是    ．

16. 难度：中等

已知数列{a_n}满足：a₁=1，，且（n∈N^*），则如图中第9行所有数的和为    ．

17. 难度：中等

已知是函数图象的一个对称点．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）作出函数f（x）在x∈[0，π]上的图象简图．

18. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面A₁BC⊥侧面A₁ABB₁．
（Ⅰ）求证：AB⊥BC；
（Ⅱ）若直线AC与平面A₁BC所成的角为θ，二面角A₁-BC-A的大小为φ，试判断θ与φ的大小关系，并予以证明．

19. 难度：中等

如图，在竖直平面内有一个“游戏滑道”，空白部分表示光滑滑道，黑色正方形表示障碍物，自上而下第一行有1个障碍物，第二行有2个障碍物，…，依此类推．一个半径适当的光滑均匀小球从入口A投入滑道，小球将自由下落，已知小球每次遇到正方形障碍物上顶点时，向左、右两边下落的概率都是．记小球遇到第n行第m个障碍物（从左至右）上顶点的概率为P（n，m）．
（Ⅰ）求P（4，1），P（4，2）的值，并猜想P（n，m）的表达式（不必证明）；
（Ⅱ）已知f（x）=，设小球遇到第6行第m个障碍物（从左至右）上顶点时，得到的分数为ξ=f（m），试求ξ的分布列及数学期望．

20. 难度：中等

已知椭圆C：（a＞b＞0）经过点（，），一个焦点是F（0，-）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆C与y轴的两个交点为A₁、A₂，点P在直线y=a²上，直线PA₁、PA₂分别与椭圆C交于M、N两点．试问：当点P在直线y=a²上运动时，直线MN是否恒经过定点Q？证明你的结论．

21. 难度：中等

已知a＞0，设函数，．
（Ⅰ）求函数h（x）=f（x）-g（x）的最大值；
（Ⅱ）若e是自然对数的底数，当a=e时，是否存在常数k、b，使得不等式f（x）≤kx+b≤g（x）对于任意的正实数x都成立？若存在，求出k、b的值，若不存在，请说明理由．

22. 难度：中等

如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是弧AC的中点，BD交AC于E． 
（I）求证：CD²=DE•DB．   
（II）若CD=2O到AC的距离为1，求⊙O的半径．

23. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程
平面直角坐标系中，直线l的参数方程是（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为4ρ²cos2θ-4ρsinθ+3=0．
（Ⅰ）求直线l的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A、B两点，求|AB|．

24. 难度：中等

选修4-5：不等式选讲
设正有理数x是的一个近似值，令y=1+．
（Ⅰ）若x，求证：y＜；
（Ⅱ）求证：y比x更接近于．