2011-2012学年江苏省常州中学高三最后冲刺综合练习数学试卷4（文科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

若集合S={x∈N|lgx≤1}，P={x|x²≤10}则集合S∩P=    ．

2. 难度：中等

复数（i是虚数单位）的实部是    ．

3. 难度：中等

已知“∃x∈R，ax²+2ax+1≤0”为假命题，则实数a的取值范围是    ．

4. 难度：中等

已知向量和向量的夹角为150°，，则=    ．

5. 难度：中等

若x是不等式|x+1|＜3的解，则x是负数的概率为    ．

6. 难度：中等

已知函数f（x）=ax²+ax-1（a＞0）有两个零点，其中一个零点在区间（1，2）内，则a的取值范围是    ．

7. 难度：中等

设等差数列的前n项和为S_n，若S₃=9，S₆=36，则a₈=    ．

8. 难度：中等

α，β是两个不重合的平面，下列条件可判定α∥β的有    ．
（1）α，β都平行于直线l，m；
（2）α内有三个不共线的点到β的距离相等；
（3）l，m是α内的两条直线，且l∥β，m∥β；
（4）l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β．

9. 难度：中等

在如图的程序框图中，输出S的值为    ．

10. 难度：中等

设x，y均为正实数，且xy-x-y-8=0，则xy的最小值为    ．

11. 难度：中等

两个正数a，b的等差中项是，一个等比中项是，且a＞b，则椭圆的离心率为   

12. 难度：中等

若不等式的解集为{x|x＜0}，则实数a的取值范围是    ．

13. 难度：中等

若，则的最大值为    ．

14. 难度：中等

定义在R上的函数f（x），对任意的x都有f（x+4）≤f（x）+4和f（x+3）≥f（x）+3，且f（1）=2，f（0）=1，则f（2009）=    ．

15. 难度：中等

已知f（α）=
（1）化简f（α）；
（2）若α为第三象限角，且cos（α-π）=，求f（α）的值；
（3）若α=-π，求f（α）的值．

16. 难度：中等

如图，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是边长为a的菱形，且∠ABC=60°，侧棱长为，若经过AB₁且与BC₁平行的平面交上底面线段A₁C₁于点E．
（1）试求AE的长；
（2）求证：A₁C⊥平面AB₁E．

17. 难度：中等

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设直线l经过点P（3，）且与x轴交于点F（2，0）．
（1）求直线l的方程．
（2）如果椭圆C经过点P，且以点F为它的一个焦点，求椭圆的标准方程．
（3）若在（1）、（2）的情况下，设直线l与椭圆的另一个交点为Q，且，当取最小值时，求λ的对应值．

18. 难度：中等

定义区间（m，n），[m，n]，（m，n]，[m，n）的长度均为n-m，其中n＞m．
（1）若关于x的不等式2ax²-12x-3＞0的解集构成的区间的长度为，求实数a的值；
（2）已知，若A∩B构成的各区间长度和为6，求实数t的取值范围．

19. 难度：中等

随着机构改革开作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员2a人（140＜2a＜420，且a为偶数），每人每年可创利b万元．据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利0.01b万元，但公司需付下岗职员每人每年0.4b万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？

20. 难度：中等

如果一个数列的各项均为实数，且从第二项起开始，每一项的平方与它前一项的平方的差都是同一个常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫做这个数列的公方差．
（1）若数列{b_n}是等方差数列，b₁=1，b₂=3，求b₇；
（2）是否存在一个非常数数列的等差数列或等比数列，同时也是等方差数列？若存在，求出这个数列；若不存在，说明理由．
（3）若正项数列{a_n}是首项为2、公方差为4的等方差数列，数列的前n项和为T_n，是否存在正整数p，q，使不等式对一切n∈N^*都成立？若存在，求出p，q的值；若不存在，说明理由．