2011-2012学年浙江省重点中学协作体高三（下）4月联考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合A={x|＜0}，B={x||x-1|＜a}，若“a=1”是“A∩B≠∅”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件

2. 难度：中等

已知，则=（ ）
A．
B．
C．-1
D．±1

3. 难度：中等

在三次独立重复试验中，事件A在每次试验中发生的概率相同，若事件A至少发生一次的概率为，则事件A恰好发生一次的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

设变量x，y满足约束条件：的最大值为（ ）
A．10
B．8
C．6
D．4

5. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）
A．（4²⁵-1）
B．（4²⁶-1）
C．2⁵⁰-1
D．2⁵¹-1

6. 难度：中等

若平面α，β，满足α⊥β，α∩β=l，P∈α，P∉l，则下列命题中的假命题为（ ）
A．过点P垂直于平面α的直线平行于平面β
B．过点P在平面α内作垂直于l的直线必垂直于平面β
C．过点P垂直于平面β的直线在平面α内
D．过点P垂直于直线l的直线在平面α内

7. 难度：中等

已知向量，满足||=2||≠0，且关于x的函数f（x）=2x³+3||x²+6•x+5 在实数集R上单调递增，则向量，的夹角的取值范围是（ ）
A．[0.]
B．[0，]
C．（0，]
D．[，π]

8. 难度：中等

设椭圆=1（a＞0，b＞0）的离心率e=，右焦点F（c，0），方程ax²+bx-c=0的两个根分别为x₁，x₂，则点P（x₁，x₂）在（ ）
A．圆x²+y²=2内
B．圆x²+y²=2上
C．圆x²+y²=2外
D．以上三种情况都有可能

9. 难度：中等

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₉＞0，S₁₀＜0，则中最大的是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

定义：过双曲线焦点的直线与双曲线交于A、B两点，则线段AB成为该双曲线的焦点弦．已知双曲线-=1，那么过改双曲线的左焦点，长度为整数且不超过2012的焦点弦条数是（ ）
A．4005
B．4018
C．8023
D．8036

二、解答题

11. 难度：中等

复数，a∈R，且，则a的值为    ．

12. 难度：中等

函数f（x）=，则函数y=[f（x）]+1的所有零点构成的集合为    ．

13. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积与其外接球面积之比为    ．

14. 难度：中等

若n∈N^*，n＜100，且二项式的展开式中存在常数项，则所有满足条件的n值的和是    ．

15. 难度：中等

关于x的方程2cos²x-sinx+a=0在区间[0，]上恰好有两个不等实根，则实数a的取值范围是    ．

16. 难度：中等

对正整数n，设曲线y=xⁿ（1-x）在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为a_n，则数列的前n项和的公式是     ．

17. 难度：中等

有六根细木棒，其中较长的两根分别为a、a，其余四根均为a，用它们搭成三棱锥，则其中两条较长的棱所在的直线的夹角的余弦值为    ．

18. 难度：中等

已知函数，x∈R，将函数f（x）向左平移个单位后得函数g（x），设△ABC三个角A、B、C的对边分别为a、b、c．
（Ⅰ）若，f（C）=0，sinB=3sinA，求a、b的值；
（Ⅱ）若g（B）=0且，，求的取值范围．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a₁=1，且a_n=2a_n-1+2ⁿ（n≥2且n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{a_n}的前n项之和S_n，求S_n，并证明：＞2n-3．

20. 难度：中等

如图，在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中AD∥BC，PD⊥平面ABCD，AD=1，AB=，BC=4．
（Ⅰ）求直线AB与平面PDC所成的角；
（Ⅱ）设点E在棱PC上，=λ，若DE∥平面PAB，求λ的值．

21. 难度：中等

如图，曲线C₁是以原点O为中心、F₁，F₂为焦点的椭圆的一部分，曲线C₂是以O为顶点、F₂为焦点的抛物线的一部分，A是曲线C₁和C₂的交点且∠AF₂F₁为钝角，若|AF₁|=，|AF₂|=，
（1）求曲线C₁和C₂的方程；
（2）过F₂作一条与x轴不垂直的直线，分别与曲线C₁、C₂依次交于B、C、D、E四点，若G为CD中点、H为BE中点，问是否为定值？若是求出定值；若不是说明理由．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx，g（x）=e^x．
（ I）若函数φ（x）=f（x）-，求函数φ（x）的单调区间；
（Ⅱ）设直线l为函数的图象上一点A（x，f （x））处的切线．证明：在区间（1，+∞）上存在唯一的x，使得直线l与曲线y=g（x）相切．