2012年湖南省衡阳八中高考数学模拟试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

在复平面内复数Z=i（1-2i）对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

2. 难度：中等

设集合P={x∈R|x＞2}，M={x∈R|x＞a，a∈R}，则“a=1”是“P⊆M”的（ ）
A．必要不充分条件
B．充要条件
C．既不充分也不必要条件
D．充分不必要条件

3. 难度：中等

己知一个几何体是由上、下两部分构成的组合体，其三视图如下图，若图中圆的半径为1，等腰三角形的腰长为，则该几何体的体积是（ ）

A．
B．2π
C．
D．

4. 难度：中等

某校对高三理科1400名学生进行了一次调研抽测，经统计发现5科总分ξ（0＜ξ＜750）大致服从正态分布N（450，130²），若ξ在（0，280）内取值的概率为0.107，则该校1400名考生中总分为620分以上的学生大约有（ ）人（结果四舍五入）．
A．100人
B．125人
C．150人
D．200人

5. 难度：中等

一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是，则判断框内应填入的条件是（ ）

A．i＜4
B．i＞4
C．i＜5
D．i＞5

6. 难度：中等

与椭圆共焦点且过点P（2，1）的双曲线方程是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

如图所示为函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象，其中A，B两点之间的距离为5，那么f（-1）=（ ）

A．2
B．
C．
D．-2

8. 难度：中等

已知函数，若方程f（x）=x+a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A．（-∞，1]
B．（0，1）
C．[0，+∞）
D．（-∞，1）

二、解答题

9. 难度：中等

在平面直角坐标系下，曲线（t为参数），曲线C₂：（θ为参数），则曲线C₁、C₂的公共点的个数为    ．

10. 难度：中等

已知实数x、y、z满足x+2y+3z=1，则x²+y²+z²的最小值为    ．

11. 难度：中等

如图，AB是⊙O的直径，直线DE切⊙O于点D，且与AB的延长线交于点C，若CD=，CB=1，则∠ACE=    ．

12. 难度：中等

在（x-3）⁵的展开式中，含x³的项的系数等于    ．

13. 难度：中等

计算：=    ．

14. 难度：中等

如图，在直角梯形ABCD中，已知BC∥AD，AB⊥AD，AB=4，BC=2，AD=4，若P为CD的中点，则的值为    ．

15. 难度：中等

已知不等式组表示的平面区域为M，直线y=x与曲线所围成的平面区域为N．
（1）区域N的面积为    ；
（2）现随机向区域M内抛一粒豆子，则豆子落在区域N内的概率为    ．

16. 难度：中等

设a₁，a₂，…，a_n是各项不为零的n（n≥4）项等差数列，且公差d≠0．将此数列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列．
（1）若n=4，则=    ；
（2）所有数对（n，）所组成的集合为    ．

17. 难度：中等

一个房间有4扇同样的窗子，其中只有一扇窗子是打开的．房间里一只燕子只能从开着的窗子飞出去，燕子在房子里一次又一次地向着窗户飞去，试图飞出房间．假定燕子飞向各扇窗子是等可能的．
（1）假定燕子是没有记忆的，求它恰好在第2次试飞时出了房间的概率；
（2）假定这只燕子是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试不多于一次，若这只燕子恰好在第η次试飞时飞出了房间，求试飞次数η的分布列及其数学期望．

18. 难度：中等

等差数列{a_n}满足3a₅=5a₈，S_n是数列{a_n}的前n项和．
（1）若a₁=1，当S_n取得最大值时，求n的值；
（2）若a₁=-46，记，求b_n的最小值．

19. 难度：中等

如图所示的多面体中，正方形BB₁C₁C所在平面垂直平面ABC，△ABC是斜边的等腰直角三角形，B₁A₁∥BA，．
（1）求证：C₁A₁⊥平面ABB₁A₁；
（2）求直线BC₁与平面AA₁C₁所成的角的正弦值．

20. 难度：中等

如图，摄影爱好者S在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为30°，已知S的身高约为米（将眼睛距地面的距离SA按米处理）．
（1）求摄影者到立柱的水平距离AB和立柱的高度OB；
（2）立柱的顶端有一长为2米的彩杆MN，且MN绕其中点O在S与立柱所在的平面内旋转．在彩杆转动的任意时刻，摄影者观察彩杆MN的视角∠MSN（设为θ）是否存在最大值？若存在，请求出∠MSN取最大值时cosθ的值；若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

已知直线l：x=my+1过椭圆的右焦点F，抛物线的焦点为椭圆C的上顶点，且直线l交椭圆C于A，B两点，点A，F，B在直线x=4上的射影依次为点D，K，E．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l交y轴于点M，且，当m变化时，证明：；
（3）连接AE，BD，试探索当m变化时，直线AE与BD是否相交于定点？若是，求出定点的坐标，并给出证明；否则，请说明理由．

22. 难度：中等

已知函数的图象过坐标原点O，且在点（-1，f（-1））处的切线的斜率是-5．
（Ⅰ）求实数b，c的值；  
（Ⅱ）求f（x）在区间[-1，2]上的最大值；
（Ⅲ）对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上是否存在两点P、Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？说明理由．