2012年上海市静安、杨浦、青浦、宝山区高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

若函数f（x）=+1的反函数为f^-1（x），则f^-1（1）=    ．

2. 难度：中等

若复数z满足=1+i，（其中i为虚数单位），则|z|=    ．

3. 难度：中等

已知全集U=R，函数y=的定义域为集合A，则C_UA=    ．

4. 难度：中等

第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算．那么2008年北京奥运会是第     _届．

5. 难度：中等

已知口袋里装有同样大小、同样质量的16个小球，其中8个白球、8个黑球，则从口袋中任意摸出8个球恰好是4白4黑的概率为    ．（结果精确到0.001）

6. 难度：中等

直线l的一个方向向量，则直线l与x-y+2=0的夹角大小为    ．（结果用反三角函数值表示）

7. 难度：中等

若圆的极坐标方程ρ=sinθ+cosθ，则该圆的半径是    ．

8. 难度：中等

已知某随机变量ζ的概率分布列如表，其中x＞0，y＞0，则随机变量ζ的数学期望Eζ=    ．

xi	1	2	3
P（ζ=xi）	x	y	x

9. 难度：中等

用一个与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为    ．

10. 难度：中等

如图，用铁皮制作一个无盖的圆锥形容器，已知该圆锥的母线与底面所在平面的夹角为45°，容器的高为10cm．制作该容器需要铁皮面积为    cm²．（衔接部分忽略不计，结果保留整数）

11. 难度：中等

已知过抛物线C：y²=2px（p＞0）焦点F的直线l和y轴正半轴交于点A，并且l与C在第一象限内的交点M恰好为线段AF的中点，则直线l的倾斜角为    ．（结果用反三角函数值表示）

12. 难度：中等

把1+（1+x）+（1+x）²+…+（1+x）ⁿ展开成关于x的多项式，其各项系数和为a_n，则QUOTE等于    ．

13. 难度：中等

若正实数x，y满足：+=，则x，y的取值范围为    ．

14. 难度：中等

设双曲线-y²=1的右焦点为F，点P₁、P₂、…、P_n是其右上方一段（2≤x≤2，y≥0）上的点，线段|P_kF|的长度为a_k，（k=1，2，3，…，n）．若数列{a_n}成等差数列且公差d∈（，），则n最大取值为    ．

二、选择题

15. 难度：中等

“x＞3”是“|x-3|＞0”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件

16. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）

A．3
B．-6
C．10
D．-15

17. 难度：中等

直线y=kx+3与圆（x-3）²+（y-2）²=4相交于M，N两点，若，则k的取值范围是（ ）
A．[-，0]
B．
C．[-]
D．[-，0]

18. 难度：中等

已知点O为△ABC的外心，且，则的值为（ ）
A．16
B．-16
C．
D．-

三、解答题

19. 难度：中等

已知f（x）=log₂（4^x+1）+2kx  （x∈R）是偶函数．
（1）求实数k的值；
（2）若函数F（x）=f（x）-m的一个零点在区间（0，）内，求实数m的取值范围．

20. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，已知AC与BD交于点O，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为4的菱形，∠BAD=12°，PA=4．
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）若点E在线段BO上，且二面角E-PC-A的大小为60°，求线段OE的长．

21. 难度：中等

已知向量，=（1，sinx），f（x）=．
（1）求函数y=f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（2）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若f（）=，b=，c=，求a的值．

22. 难度：中等

已知椭圆￢：+=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），M点的坐标为（0，b），O为坐标原点，△OMF是等腰直角三角形．
（1）求椭圆￢的方程；
（2）设经过点C（0，2）作直线AB交椭圆￢于A、B两点，求△AOB面积的最大值；
（3）是否存在直线l交椭圆于P，Q两点，使点F为△PQM的垂心（垂心：三角形三边高线的交点）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

23. 难度：中等

如果无穷数列{a_n}满足下列条件：①≤a_n+1；②存在实数M，使a_n≤M．其中n∈N^*，那么我们称数列{a_n}为Ω数列．
（1）设数列{b_n}的通项为b_n=5n-2ⁿ，且是Ω数列，求M的取值范围；
（2）设{c_n}是各项为正数的等比数列，S_n是其前项和，c₃=，S₃=证明：数列{S_n}是Ω数列；
（3）设数列{d_n}是各项均为正整数的Ω数列，求证：d_n≤d_n+1．