2012年广东省深圳市宝安区松岗中学高考数学模拟试卷2（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若全集U=R，集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2≤x≤4}，C={x|3＜x≤4}，则（ ）
A．A=（C_UB）∩C
B．B=（C_UA）∩C
C．C=（C_UA）∩B
D．C=A∩B

2. 难度：中等

复数（i是虚数单位）的虚部是（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

下列判断错误的是（ ）
A．“am²＜bm²”是“a＜b”的充分不必要条件
B．命题“∀x∈R，x³-x²-1≤0”的否定是“∃x∈R，x³-x²-1＞0”
C．设随机变量
D．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题

4. 难度：中等

某篮球运动员在一个赛季的40场比赛中的得分的茎叶图如图所示：则中位数与众数分别为（ ）

A．3与3
B．23与3
C．3与23
D．23与23

5. 难度：中等

若0＜a＜，-＜β＜0，cos（+α）=，cos（-）=，则cos（α+）=（ ）
A．
B．-
C．
D．-

6. 难度：中等

若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”．现从1，2，3，4，5，6这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有（ ）
A．120个
B．80个
C．40个
D．20个

7. 难度：中等

如图，半圆的直径AB=6，O为圆心，C为半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值为（ ）
A．
B．9
C．
D．-9

8. 难度：中等

用C（A）表示非空集合A中的元素个数，定义A*B=，若A={1，2}，B={x||x²+ax+1|=1}，且A*B=1，由a的所有可能值构成的集合是S，那么C（S）等于（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1

二、解答题

9. 难度：中等

设函数f（x）=ax²+1，若，则a=    ．

10. 难度：中等

函数y=的定义域为    ．

11. 难度：中等

（x²-）⁹展开式中x⁹的系数是    ．

12. 难度：中等

已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是    ．

13. 难度：中等

已知m，n是两条不同的直线，α是一个平面，有下列四个命题：
①①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m⊥α，n⊥α，则m∥n；
③若m∥α，n⊥α，则m⊥n；④若m⊥α，m⊥n，则n∥α．
其中真命题的序号有    ． （请将真命题的序号都填上）

14. 难度：中等

如图，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，AP和过C的切线互相垂直，垂足为P，过B的切线交过C的切线于T，PB交圆O于Q，若∠BTC=120°，AB=4，则PQ•PB=    ．

15. 难度：中等

在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ＜2π）中，曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=-1的交点的极坐标为     ．

16. 难度：中等

已知函数f（x）=2sinωx•cosωx+2bcos²ωx-b（其中b＞0，ω＞0）的最大值为2，直线x=x₁、x=x₂是y=f（x）图象的任意两条对称轴，且|x₁-x₂|的最小值为．
（1）求b，ω的值；
（2）若，求的值．

17. 难度：中等

为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），
已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，其中第2小组的频数为12．
（1）求该校报考飞行员的总人数；
（2）以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的同学中（人数很多）任选三人，设X表示体重超过60公斤的学生人数，求X的分布列和数学期望．

18. 难度：中等

已知某几何体的直观图和三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．

（1）求证：BN⊥平面C₁B₁N；
（2）；
（3）设M为AB中点，在BC边上找一点P，使MP∥平面CNB₁并求．

19. 难度：中等

已知斜率为1的直线l与双曲线相交于B、D两点，且BD的中点为M（1，3）．
（1）求双曲线C的离心率；
（2）若双曲线C的右焦点坐标为（3，0），则以双曲线的焦点为焦点，过直线g：x-y+9=0上一点M作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点M应在何处？并求出此时的椭圆方程．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}，{b_n}满足：a₁=3b₁=3，a₂=6，b_n+1=2b_n-2ⁿ，b_n=a_n-na_n-1（n≥2，n∈N^*）．
（I）探究数列是等差数列还是等比数列，并由此求数列{b_n}的通项公式；
（II）求数列{na_n}的前n项和S_n．

21. 难度：中等

设函数f（x）=x-a（x+1）ln（x+1），（x＞-1，a≥0）
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a=1时，若方程f（x）=t在上有两个实数解，求实数t的取值范围；
（Ⅲ）证明：当m＞n＞0时，（1+m）ⁿ＜（1+n）^m．