2012年江苏省高考数学压轴卷（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知集合A={1，2^a}，B={a，b}，若A∩B={}，则A∪B=    ．

2. 难度：中等

若命题“∃x∈R，使得x²+（1-a）x+1＜0是真命题，则实数a的取值范围是    ．

3. 难度：中等

在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁内随机取一点P，则点P到点O距离大于1的概率为    ．

4. 难度：中等

若抛物线y²=2px的焦点与双曲线的右焦点重合，则p的值为     ．

5. 难度：中等

已知，，α，β∈（0，π），则α+β=    ．

6. 难度：中等

已知实数x，y满足不等式组，则x²+y²-2x-2y的最小值为    ．

7. 难度：中等

下图甲是某市有关部门根据对当地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图，
已知图甲中从左向右第一组的频数为4000．在样本中记月收入在[1000，1500），[1500，2000），[2000，2500），[2500，3000），[3000，3500），[3500，4000]的人数依次为A₁、A₂、…、A₆．图乙是统计图甲中月工资收入在一定范围内的人数的算法流程图，则样本的容量n=    ；图乙输出的S=    ．（用数字作答）

8. 难度：中等

已知直线m、n，平面α、β，给出下列命题：
①若m⊥α，n⊥β且m⊥n，则α⊥β 
②若m∥α，n∥β且m∥n，则α∥β
③若m⊥α，n∥β且m⊥n，则α⊥β 
④若m⊥α，n∥β且m∥n则α∥β，其中正确的命题的个数为    ．

9. 难度：中等

若函数f（x）=log_a（2x²+x）（a＞0，a≠1）在区间恒有f（x）＞0，则f（x）的单调递增区间是    ．

10. 难度：中等

如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为（n≥2）个数是它下一行左右相邻两数的和，如=，=+，=+，…，则第10行第4个数（从左往右数）为    ．

11. 难度：中等

设函数f（x）=x³+4x+5的图象在x=1处的切线为l，则圆2x²+2y²-8x-8y+15=0上的点到直线l的最短距离为    ．

12. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为椭圆E：+=1 （a＞b＞0）的左顶点，B，C在椭圆E上，若四边形OABC为平行四边形，且∠OAB=30°，则椭圆E的离心率等于    ．

13. 难度：中等

当时，恒成立，则实数a的取值范围是    ．

14. 难度：中等

已知正项等比数列{a_n}满足：a₇=a₆+2a₅若存在两项a_m、a_n使得，则的最小值为    ．

15. 难度：中等

已知复数z₁=sin2x+λi，，且z₁=z₂．
（1）若λ=0且0＜x＜π，求x的值；
（2）设λ=f（x），已知当x=α时，，试求的值．

16. 难度：中等

如图，已知空间四边形ABCD中，BC=AC，AD=BD，E是AB的中点，求证：
（1）AB⊥平面CDE；
（2）平面CDE⊥平面ABC；
（3）若G为△ADC的重心，试在线段AE上确定一点F，使得GF∥平面CDE．

17. 难度：中等

如图所示，某市政府决定在以政府大楼O为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆．为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼．设扇形的半径OM=R，∠MOP=45°，OB与OM之间的夹角为θ．
（1）将图书馆底面矩形ABCD的面积S表示成θ 的函数．
（2）求当θ 为何值时，矩形ABCD的面积S有最大值？其最大值是多少？（用含R的式子表示）

18. 难度：中等

已知A、B分别是直线和上的两个动点，线段AB的长为，P是AB的中点．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点Q（1，0）任意作直线l（与x轴不垂直），设l与（1）中轨迹C交于M、N，与y轴交于R点．若，，证明：λ+μ 为定值．

19. 难度：中等

设数列{a_n}的通项是关于x的不等式x²-x＜（2n-1）x（n∈N′）的解集中整数的个数．
（1）求a_n并且证明{a_n}是等差数列；
（2）设m、k、p∈N*，m+p=2k，求证：+≥；
（3）对于（2）中的命题，对一般的各项均为正数的等差数列还成立吗？如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由．

20. 难度：中等

设函数．
（1）试判断当x＞0，g（x）与f（x）的大小关系；
（2）求证：…[1+n（n+1）]＞e^2n-3（n∈N^*）；
（3）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）是函数y=g（x）的图象上的两点，且g′（x）=（其中g′（x）为g（x）的导函数），证明：x∈（x₁，x₂）．

21. 难度：中等

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E，F分别在边AB，CD上，设ED与AF相交于点G，若B，C，F，E四点共圆，求证：AG•GF=DG•GE．

22. 难度：中等

已知M=[]，α=[]，试计算M²⁰α．

23. 难度：中等

在极坐标系下，已知圆O：ρ=cosθ+sinθ和直线l：．
（1）求圆O和直线l的直角坐标方程；
（2）当θ∈（0，π）时，求直线l与圆O公共点的极坐标．

24. 难度：中等

（选修4-5：不等式选讲）
求函数 最大值．

25. 难度：中等

某大楼共5层，4个人从第一层上电梯，假设每个人都等可能地在每一层下电梯，并且他们下电梯与否相互独立．又知电梯只在有人下时才停止．
（I）求某乘客在第i层下电梯的概率（i=2，3，4，5）；
（Ⅱ）求电梯在第2层停下的概率；
（Ⅲ）求电梯停下的次数ξ的数学期望．

26. 难度：中等

设数列{a_n}满足a₁=a，a_n+1=a_n²+a₁，M={a∈R|n∈N*，|a_n|≤2}．
（1）当a∈（-∞，-2）时，求证：a∉M；
（2）当a∈（0，]时，求证：a∈M；
（3）当a∈（，+∞）时，判断元素a与集合M的关系，并证明你的结论．