2012年四川省宜宾市高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数的值为（ ）
A．-i
B．+i
C．-i
D．i

2. 难度：中等

下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是（ ）
A．y=x³
B．y=|x|+1
C．y=-x²+1
D．y=2^-|x|

3. 难度：中等

函数y=2^x-1的反函数是（ ）
A．y=log₂（x-1）（x＞1）
B．y=1+log₂x（x＞0）
C．
D．

4. 难度：中等

已知sin（）=，则cos（）的值等于（ ）
A．
B．
C．-
D．

5. 难度：中等

条件p：|x|＞1，条件q：x＜-2，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

6. 难度：中等

函数f（x）=，在x=1处连续，则实数m=（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知正项等比数列{a_n}中，a₁=1，a₃a₇=4a₆²，则S₆=（ ）
A．
B．
C．
D．2

8. 难度：中等

平面a外有两条直线m和n，如果m和n在平面a内的射影分别是m₁和n₁，给出下列四个命题：
①m₁⊥n₁⇒m⊥n 
②m⊥n⇒m₁⊥n₁ 
③m₁与n₁相交⇒m与n相交或重合；
④m₁与n₁平行⇒m与n平行
其中不正确的命题个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

9. 难度：中等

设f（x）等于展开式的中间项，若f（x）≤mx在区间[，]上恒成立，则m的取值范围是（ ）
A．[5，+∞）
B．[，+∞）
C．[，5]
D．[，5）

10. 难度：中等

顶点在同一球面上的正四棱柱ABCD-A′B′C′D′中，AB=1，AA′=，则A、C两点间的球面距离为（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该食品5袋，能获奖的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

已知f（x）是在R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f（x）=x³-x，则函数的图象在区间[-4，4]上与x轴的交点的个数为（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10

二、解答题

13. 难度：中等

-=    ．

14. 难度：中等

已知向量=（2，l），•=10，|+|=5，则||=    ．

15. 难度：中等

《中华人民共和国道路交通安全法》
规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80mg/100mL（不含80）之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80mg/100mL（含80）以上时，属醉酒驾车．
据有关调查，在一周内，某地区查处酒后驾车和醉酒驾车共500人．如图是对这500人血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为    ．

16. 难度：中等

有一个半径为1的小球在一个内壁棱长均为4的直三棱柱封闭容器内可以向各个方向自由运动，则该小球不可能接触到的容器内壁的面积是    ．

17. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c
（1）若，求A的值；
（2）若，求sinC的值．

18. 难度：中等

某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用ξ表示，椐统计，随机变量ξ的概率分布如下：

ξ		1	2	3
p	0.1	0.3	2a	a

（Ⅰ）求a的值和ξ的数学期望；
（Ⅱ）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．

19. 难度：中等

如图，两矩形ABCD、ABEF所在平面互相垂直，DE与平面ABCD及平面所成角分别为30、45，M、N分别为DE与DB的中点，且MN=1．
（I） 求证：MN⊥平面ABCD
（II） 求线段AB的长；
（III）求二面角A-DE-B的平面角的正弦值．

20. 难度：中等

设数列{a_n}（n∈N）满足a=0，a₁=2，且对一切n∈N，有a_n+2=2a_n+1-a_n+2．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）当n∈N⁺时，令，S_n是数列{b_n}的前n项和，求证：．

21. 难度：中等

若定义在R上的函数f（x）对任意的x₁，x₂∈R，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-1成立，且当x＞0时，f（x）＞1．
（1）求证：f（x）-1为奇函数；
（2）求证：f（x）是R上的增函数；
（3）若f（4）=5，解不等式f（3m²-m-2）＜3．

22. 难度：中等

已知定义在（0，+∞）上的两个函数处取得极值．
（1）求a的值及函数g（x）的单调区间；
（2）求证：当成立．
（3）把g（x）对应的曲线向上平移6个单位后得曲线C₁，求C₁与f（x）对应曲线C₂的交点个数，并说明理由．