2012年江苏省南京市白下区高三迎市二模考试数学试卷（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知函数f（x）=cosx，则f（x）的导函数f′（x）=    ．

2. 难度：中等

命题“∀x∈R，x²+2＞0”的否定是    命题．（填“真”或“假”之一）

3. 难度：中等

若椭圆的焦距为，则m=    ．

4. 难度：中等

抛物线y²=2x上一点M到焦点的距离为1，则点M的横坐标是    ．

5. 难度：中等

下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是    ．（填写序号）
①a＞b-1； ②a＞b+1； ③a²＞b² ；④a³＞b³．

6. 难度：中等

如图所示的“双塔”形立体建筑，已知P-ABD和Q-CBD是两个高相等的正三棱锥，四点A，B，C，D在同一平面内，要使塔尖P，Q之间的距离为50m，则底边AB的长为      m．

7. 难度：中等

若m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则以下命题正确的是    ．（填写序号）
①若m∥α，n⊂α，则m∥n；
②若m∥α，α∥β，则m∥β；
③若m⊥α，m∥n，α∥β，则n⊥β；
④若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β

8. 难度：中等

如图一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于P，则点P的轨迹是    ．

9. 难度：中等

曲线与在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积为    ．

10. 难度：中等

已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，若这个球的表面积为12π，则这个正三棱柱的体积为    ．

11. 难度：中等

如图所示，在圆锥PO中，已知，⊙O的直径AB=2，点C在弧AB上，且∠COB=60°，则二面角B-PA-C的余弦值是    ．

12. 难度：中等

已知点F是双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是    ．

13. 难度：中等

已知函数f（x）=（ax²+x）-xlnx在[1，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是    ．

14. 难度：中等

已知点P是抛物线x²=4y上一个动点，过点P作圆x²+（y-4）²=1的两条切线，切点分别为M，N，则线段MN长度的最小值是    ．

15. 难度：中等

设命题p：方程表示双曲线，命题q：圆x²+（y-1）²=9与圆（x-a）²+（y+1）²=16相交．若“￢p且q”为真命题，求实数a的取值范围．

16. 难度：中等

已知函数f（x）=（ax²+bx+c）e^2-x在x=1处取得极值，且在点（2，f（2））处的切线方程为6x+y-27=0．
（1）求a，b，c的值；
（2）求函数f（x）的单调区间，并指出f（x）在x=1处的极值是极大值还是极小值．

17. 难度：中等

已知圆C经过两点P（-1，-3），Q（2，6），且圆心在直线x+2y-4=0上，直线l的方程为（k-1）x+2y+5-3k=0．
（1）求圆C的方程；
（2）证明：直线l与圆C恒相交；
（3）求直线l被圆C截得的最短弦长．

18. 难度：中等

如图，平面ABDE⊥平面ABC，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，四边形ABDE是直角梯形，，O，M，N分别为CE，AB，EM的中点．
（1）求证：OD∥平面ABC；
（2）求证：ON⊥平面ABDE；
（3）求直线CD与平面ODM所成角的正弦值．

19. 难度：中等

如图，A，B是椭圆的左右顶点，M是椭圆上异于A，B的任意一点，若椭圆C的离心率为，且右准线l的方程为x=4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线AM交l于点P，以MP为直径的圆交直线MB于点Q，试证明：直线PQ与x轴的交点R为定点，并求出R点的坐标．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=-x³+x²+b，g（x）=alnx．
（1）若f（x）在上的最大值为，求实数b的值；
（2）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥-x²+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围；
（3）在（1）的条件下，设，对任意给定的正实数a，曲线y=F（x）上是否存在两点P、Q，使得△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？请说明理由．