2012年山东师大附中高三4月冲刺题数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合M={x∈R|x²-3x-10＜0}，N={x∈Z||x|＜2}，则M∩N为（ ）
A．（-2，2）
B．（1，2）
C．{-1，0，1}
D．{-2，-1，0，1，2}

2. 难度：中等

若复数是实数，则x的值为（ ）
A．-3
B．3
C．0
D．

3. 难度：中等

曲线C：y=x²+x在x=1 处的切线与直线ax-y+1=0互相垂直，则实数a的值为（ ）
A．3
B．-3
C．
D．-

4. 难度：中等

已知变量x，y满足，则z=3x+y的最大值为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7

5. 难度：中等

如图是一个几何体的三视图，则此三视图所描述几何体的表面积为（ ）
A．
B．20π
C．
D．28π

6. 难度：中等

下列命题中：
①若p，q为两个命题，则“p且q为真”是“p或q为真”的必要不充分条件．
②若p为：∃×∈R，x²+2x≤0，则¬p为：∀×∈R，x²+2x＞0．
③命题“∀x，x²-2x+3＞0”的否命题是“∃x，x²-2x+3＜0”．
④命题“若¬p，则q”的逆否命题是“若p，则¬q”．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

7. 难度：中等

双曲线的离心率为，则它的渐近线方程是（ ）
A．
B．
C．y=±2
D．

8. 难度：中等

将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位，所得函数的最小正周期为（ ）
A．π
B．2π
C．4π
D．8π

9. 难度：中等

数列{a_n}的前n项和S_n=n²+n+1；b_n=（-1）ⁿ a_n（n∈N*）；则数列{b_n}的前50项和为（ ）
A．49
B．50
C．99
D．100

10. 难度：中等

△ABC中，三边之比a：b：c=2：3：4，则最大角的余弦值等于（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

数列{a_n}中，a₃=2，a₅=1，如果数列是等差数列，则a₁₁=（ ）
A．
B．0
C．
D．

12. 难度：中等

已知，若|f（x）|≥ax在x∈[-1，1]上恒成立，则实数a的取值范围（ ）
A．（-∞-1]∪[0，+∞）
B．[-1，0]
C．[0，1]
D．[-1，0）

二、解答题

13. 难度：中等

α是第四象限角，，则=    ．

14. 难度：中等

已知向量，且，则的值是    ．

15. 难度：中等

过抛物线y²=4x的焦点，且被圆x²+y²-4x+2y=0截得弦最长的直线的方程是    ．

16. 难度：中等

{a_n}为等比数列，若，则数列{a_n}的通项a_n=    ．

17. 难度：中等

已知向量=（cosωx，sinωx），=（cosωx，cosωx），其中（0＜ω＜2）．函数，其图象的一条对称轴为．
（I）求函数f（x）的表达式及单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，S为其面积，若=1，b=l，S_△ABC=，求a的值．

18. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC，E，F分别是AB，PB的中点．
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）求证：EF⊥CD；
（3）设PD=AD=a，求三棱锥B-EFC的体积．

19. 难度：中等

一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4．
（I）从袋中随机抽取一个球，将其编号记为a，然后从袋中余下的三个球中再随机抽取一个球，将其编号记为b．求关于x的一元二次方程x²+2ax+b²=0有实根的概率；
（II）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n．若以（m，n）作为点P的坐标，求点P落在区域内的概率．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=3ax-2x²+lnx，a为常数．
（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在区间[1，2]上为单调函数，求a的取值范围．

21. 难度：中等

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+=0相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于A，B两点，设P为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），当|-|＜时，求实数t取值范围．

22. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a_n＞0且对一切n∈N^*，有a₁³+a₂³+…+a_n³=S_n²，a₁+a₂+…+a_n．
（Ⅰ）求证：对一切n∈N^*有-a_n+1=2S_n；
（Ⅱ）求数列{a_n}通项公式；
（Ⅲ）求证：+++…+＜3．