2011-2012年辽宁省葫芦岛市高三第三次联考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若全集U=R，集合，则M∩（C_UN）等于（ ）
A．{x|x＜-2}
B．{x|x＜-2或x≥3}
C．{x|x≥3}
D．{x|-2≤x＜3}

2. 难度：中等

已知x，y∈R，i是虚数单位，且（x-1）i-y=2+i，则（1+i）^x-y的值是（ ）
A．-4
B．4
C．-1
D．1

3. 难度：中等

袋中有6个小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，甲乙两人玩游戏，先由甲从袋中任意摸出一个小球，记下号码a后放回袋中，再由乙摸出一个小球，记下号码b，若|a-b|≤1，就称甲乙两人“有默契”，则甲乙两人“有默契”的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，若输入x=3，则输出y的值为（ ）

A．5
B．9
C．17
D．33

5. 难度：中等

球O为长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的外接球，已知AB=2，AD=，AA₁=，则顶点A、B间的球面距离是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知函数y=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的简图如图，则 的值为（ ）

A．
B．
C．-
D．-

7. 难度：中等

已知公比不为1的等比数列{a_n}的首项为1，若3a₁，2a₂，a₃成等差数列，则数列{}的前5项和为（ ）
A．
B．
C．121
D．31

8. 难度：中等

已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F，离心率为，过点F且倾斜角为60°的直线l与椭圆交于A、B两点（其中A点在x轴上方），则的值等于（ ）
A．2
B．
C．
D．

9. 难度：中等

在边长为4的正方形ABCD中，E为BC中点，P为DE中点，则•的值为（ ）
A．-5
B．-4
C．4
D．5

10. 难度：中等

我们常用以下方法求形如y=f（x）^g（x）的函数的导数：先两边同取自然对数得：lny=g（x）lnf（x），再两边同时求导得到：•y′=g′（x）lnf（x）+g（x）••f′（x），于是得到：y′=f（x）^g（x）[g′（x）lnf（x）+g（x）••f′（x）]，运用此方法求得函数y=的一个单调递增区间是（ ）
A．（e，4）
B．（3，6）
C．（0，e）
D．（2，3）

11. 难度：中等

已知f（x）=3sinx-πx，命题p：∀x∈（0，），f（x）＜0，则（ ）
A．p是假命题，￢p：∀x∈（0，），f（x）≥0
B．p是假命题，￢p：∃x∈（0，），f（x）≥0
C．p是真命题，￢p：∀x∈（0，），f（x）＞0
D．p是真命题，￢p：∃x∈（0，），f（x）≥0

12. 难度：中等

F（-c，0）是双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左焦点，P是抛物线y²=4cx上一点，直线FP与圆x²+y²=a²相切于点E，且PE=FE，若双曲线的焦距为2+2，则双曲线的实轴长为（ ）
A．4
B．2
C．
D．

二、解答题

13. 难度：中等

（1+2x²）（x-）⁸的展开式中常数项为     ．

14. 难度：中等

已知x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值为     ．

15. 难度：中等

一个三棱锥的三视图如图所示，其正视图、左视图、俯视图的面积分别是2，4，8，则这个几何体的体积为    ．

16. 难度：中等

已知a_n=（2x+1）dx，数列{}的前n项和为S_n，b_n=n-33，n∈N^*，则b_nS_n的最小值为    ．

17. 难度：中等

已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且=-．
（Ⅰ）求角B的值； 
（Ⅱ）若b=，a+c=4，求△ABC的面积．

18. 难度：中等

在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥BC，PA=AB=BC=CD=a．
（1）求证：面PAD⊥面PAC；
（2）求二面角D-PB-C的余弦值；
（3）求点D到平面PBC的距离．

19. 难度：中等

根据辽宁省期初教育工作会议精神，我省所有中小学全部取消晚自习，某校高二年级共有学生1000名，其中走读生750名，住宿生250名，现从该年级采用分层抽样的方法从该年级抽取n名学生进行问卷调查．根据问卷取得了这n名同学每天晚上有效学习时间（单位：分钟）的数据，按照以下区间分为八组
①[0，30），②[30，60），③[60，90），④[90，120），⑤[120，150），⑥[150，180），⑦[180，210），⑧[210，240），
得到频率分布直方图如下．已知抽取的学生中每天晚上有效学习时间少于60分钟的人数为5人；
（1）求n的值并补全下列频率分布直方图；
（2）如果把“学生晚上有效时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准，对抽取的n名学生，完成下列2×2列联表：

	利用时间充分	利用时间不充分	总计
走读生	50	25	75
住宿生	10	15	25
总计	60	40	100

是否有95%的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关？
（3）若在第①组、第②组、第⑦组、第⑧组中共抽出3人调查影响有效利用时间的原因，记抽到“有效学习时间少于60分钟”的学生人数为X，求X的分布列及期望；
参考公式：K²=．

20. 难度：中等

如图，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右顶点为A₁，A₂，左右焦点为F₁，F₂，其中F₁，F₂是A₁A₂的三等分点，A是椭圆上任意一点，且|AF₁|+|AF₂|=6．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线AF₁与椭圆交于另一点B，与y轴交于一点C，记m=，n=，若点A在第一象限，求m+n的取值范围．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=x³-2x²+bx+a，g（x）=ln（1+2x）+x．
（1）求f（x）的单调区间．
（2）若f（x）与g（x）有交点，且在交点处的切线均为直线y=3x，求a，b的值并证明：在公共定义域内恒有f（x）≥g（x）．
（3）设A（x₁，g（x₁）），B（x₂，g（x₂）），C（t，g（t））是y=g（x）图象上任意三点，且-＜x₁＜t＜x₂，求证：割线AC的斜率大于割线BC的斜率．

22. 难度：中等

如图，A，B，C，D四点在同一圆上，BC与AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上．
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）若EF²=FA•FB，证明：EF∥CD．

23. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程．
在平面直角坐标系中，曲线C₁的参数方程为（a＞b＞0，ϕ为参数），以Ο为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂是圆心在极轴上且经过极点的圆，已知曲线C₁上的点M（2，）对应的参数φ=；θ=；与曲线C₂交于点D（，）
（1）求曲线C₁，C₂的方程；
（2）A（ρ_，θ），Β（ρ₂，θ+）是曲线C₁上的两点，求+的值．

24. 难度：中等

选修 4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=|x-2|-|x+1|．
（Ⅰ）若f（x）≤a恒成立，求a的取值范围；
（Ⅱ）解不等式f（x）≥x²-2x．