2012年江苏省苏锡常镇四市高考数学一模试卷（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知集合A={1，2，3}，集合B={3，4}，则A∩B=    ．

2. 难度：中等

已知复数z=1-2i（i为虚数单位），则z²=    ．

3. 难度：中等

已知命题p：直线a，b相交，命题q：直线a，b异面，则¬p是q的    条件．

4. 难度：中等

某公司为了改善职工的出行条件，随机抽取100名职工，调查了他们的居住地与公司间的距离d（单位：千米）．由其数据绘制的频率分布直方图如图所示，则样本中职工居住地与公司间的距离不超过4千米的人数为    ．

5. 难度：中等

如图，给出一个算法的伪代码，已知输出值为3，则输入值x=    ．

6. 难度：中等

已知角α（0≤α＜2π）的终边过点，则α=    ．

7. 难度：中等

写出一个满足f（xy）=f（x）+f（y）-1（x，y＞0）的函数f（x）=    ．

8. 难度：中等

已知点M与双曲线的左，右焦点的距离之比为2：3，则点M的轨迹方程为    ．

9. 难度：中等

投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m，n，设，则满足的概率为    ．

10. 难度：中等

等差数列{a_n}中，已知a₈≥15，a₉≤13，则a₁₂的取值范围是    ．

11. 难度：中等

已知a，b为正实数，函数f（x）=ax³+bx+2^x在[0，1]上的最大值为4，则f（x）在[-1，0]上的最小值为    ．

12. 难度：中等

如图，已知二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c为实数，a≠0）的图象过点C（t，2），且与x轴交于A，B两点，若AC⊥BC，则a的值为    ．

13. 难度：中等

设u（n）表示正整数n的个位数，，则数列{a_n}的前2012项和等于    ．

14. 难度：中等

将函数（x∈[0，2]）的图象绕坐标原点逆时针旋转θ（θ为锐角），若所得曲线仍是一个函数的图象，则θ的最大值为    ．

15. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且．
（1）求角C的大小；
（2）若a²=2b²+c²，求tanA的值．

16. 难度：中等

如图1所示，在Rt△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，CD为∠ACB的平分线，点E在线段AC上，CE=4．如图2所示，将△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，连接AB，设点F是AB的中点．
（1）求证：DE⊥平面BCD；
（2）若EF∥平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，求三棱锥B-DEG的体积．

17. 难度：中等

如图，两个圆形飞轮通过皮带传动，大飞轮O₁的半径为2r（r为常数），小飞轮O₂的半径为r，O₁O₂=4r．在大飞轮的边缘上有两个点A，B，满足，在小飞轮的边缘上有点C．设大飞轮逆时针旋转一圈，传动开始时，点B，C在水平直线O₁O₂上．
（1）求点A到达最高点时A，C间的距离；
（2）求点B，C在传动过程中高度差的最大值．

18. 难度：中等

如图，已知椭圆的上顶点为A，直线y=-4交椭圆E于点B，C（点B在点C的左侧），点P在椭圆E上．
（1）若点P的坐标为（6，4），求四边形ABCP的面积；
（2）若四边形ABCP为梯形，求点P的坐标；
（3）若（m，n为实数），求m+n的最大值．

19. 难度：中等

数列{a_n}中，a₁=1，a₂=2．数列{b_n}满足，n∈N₊．
（1）若数列{a_n}是等差数列，求数列{b_n}的前6项和S₆；
（2）若数列{b_n}是公差为2的等差数列，求数列{a_n}的通项公式；
（3）若b_2n-b_2n-1=0，，n∈N₊，求数列{a_n}的前2n项的和T_2n．

20. 难度：中等

若斜率为k的两条平行直线l，m经过曲线C的端点或与曲线C相切，且曲线C上的所有点都在l，m之间（也可在直线l，m上），则把l，m间的距离称为曲线C在“k方向上的宽度”，记为d（k）．
（1）若曲线C：y=2x²-1（-1≤x≤2），求d（-1）；
（2）已知k＞2，若曲线C：y=x³-x（-1≤x≤2），求关于k的函数关系式d（k）．

21. 难度：中等

（选做题）如图，正△ABC外接圆的半径为1，点M，N分别是边AB，AC的中点，延长MN与△ABC的外接圆交于点P，求线段NP的长．

22. 难度：中等

（选做题）二阶矩阵M对应的变换将点（1，-1）与（-2，1）分别变换成点（-1，-1）与（0，-2）．设直线l在变换M作用下得到了直线m：2x-y=4，求直线l的方程．

23. 难度：中等

已知极坐标系的极点O与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C₁：与曲线C₂：（t∈R）交于A、B两点．求证：OA⊥OB．

24. 难度：中等

（选做题）设实数x，y，z满足x+2y-3z=7，求x²+y²+z²的最小值．

25. 难度：中等

某地区通过先初试再复试选拔篮球运动员，初试依次进行四项测试，若选手通过其中两项测试，则可直接进入复试，不再进行剩余项测试；若选手前三项测试均不通过，则不进行第四项测试．假设选手甲在初试中通过每项测试的概率都是，且每项测试是否通过互相独立．
（1）求选手甲前两项测试均不通过的概率；
（2）设选手甲参加初试测试的次数为X（X≥2），求X的分布列及X的数学期望．

26. 难度：中等

从函数角度看，组合数可看成是以r为自变量的函数f（r），其定义域是{r|r∈N，r≤n}．
（1）证明：；
（2）利用（1）的结论，证明：当n为偶数时，（a+b）ⁿ的展开式中最中间一项的二项式系数最大．