2012年高考数学考前模拟预测试卷（三）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
（Ⅰ）求sinC；
（Ⅱ）当c=2a，且时，求a．

2. 难度：中等

第26届世界大学生夏季运动会将于2011年8月12日到23日在深圳举行，为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者．将这30名志愿者的身高编成如右所示的茎叶图（单位：cm）：若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”．
（1）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中中提取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？
（2）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．

3. 难度：中等

设连续掷两次骰子得到的点数分别为m、n，令平面向量，．
（Ⅰ）求使得事件“”发生的概率；
（Ⅱ）求使得事件“”发生的概率；
（Ⅲ）使得事件“直线与圆（x-3）²+y²=1相交”发生的概率．

4. 难度：中等

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AB=BC=CA=AA₁，D为AB的中点．
（1）求证：BC₁∥平面DCA₁；
（2）求二面角D-CA₁-C₁的平面角的余弦值．

5. 难度：中等

如图，五面体A-BCC₁B₁中，AB₁=4．底面ABC 是正三角形，AB=2．四边形BCC₁B₁是矩形，二面角A-BC-C₁为直二面角．
（Ⅰ）若D是AC中点，求证：AB₁∥平面BDC₁；
（Ⅱ）求该五面体的体积．

6. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的公差大于0，且a₃，a₅是方程x²-14x+45=0的两根，数列{b_n}的前n项的和为S_n，且．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）记c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

7. 难度：中等

已知椭圆E：（a＞b＞0）过点P（3，1），其左、右焦点分别为F₁，F₂，且．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若M，N是直线x=5上的两个动点，且F₁M⊥F₂N，则以MN为直径的圆C是否过定点？请说明理由．

8. 难度：中等

已知二次函数h（x）=ax²+bx+c（其中c＜3），其导函数y=h′（x）的图象如图，f（x）=6lnx+h（x）．
（1）求函数f（x）在x=3处的切线斜率；
（2）若函数f（x）在区间上是单调函数，求实数m的取值范围；
（3）若函数y=-x，x∈（0，6]的图象总在函数y=f（x）图象的上方，求c的取值范围．

二、选择题

9. 难度：中等

已知集合A={y|x²+y²=1}和集合B={y|y=x²}，则A∩B等于（ ）
A．（ 0，1 ）
B．[0，1]
C．（ 0，+∞）
D．{（ 0，1 ），（ 1，0 ）}

10. 难度：中等

复数（3+4i）i（其中i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

11. 难度：中等

“a=1”是“函数f（x）=lg（ax）在（0，+∞）单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件
B．充分必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件

12. 难度：中等

设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α
B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C．若l∥α，m⊂α，则l∥m
D．若l∥α，m∥α，则l∥m

13. 难度：中等

已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A．8
B．
C．
D．

14. 难度：中等

已知非零向量，，满足++=0，向量与夹角为120°，且||=2||，则向量与的夹角为（ ）
A．60°
B．90°
C．120°
D．150°

15. 难度：中等

若实数x，y满足不等式组：，则该约束条件所围成的平面区域的面积是（ ）
A．3
B．
C．2
D．

16. 难度：中等

由直线y=x+2上的点向圆（x-4）²+（y+2）²=1引切线，则切线长的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．

17. 难度：中等

如图是歌手大奖赛中，七位评委为甲，乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中m为数字0-9中的一个），去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a₁，a₂，则一定有（ ）

A．a₁＞a₂
B．a₂＞a₁
C．a₁=a₂
D．a₁，a₂的大小不确定

18. 难度：中等

一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为（ ）
A．
B．
C．
D．

19. 难度：中等

要得到函数y=sin（2x-）的图象，只需将函数y=sin2x的图象（ ）
A．向左平移个单位
B．向右平移个单位
C．向左平移个单位
D．向右平移个单位

20. 难度：中等

已知函数f（x）的定义域为[-1，5]，部分对应值如下表．

x	-1		4	5
f（x）	1	2	2	1

f（x）的导函数y=f'（x）的图象如图所示．
下列关于函数f（x）的命题：
①函数y=f（x）是周期函数；
②函数f（x）在[0，2]是减函数；
③如果当x∈[-1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；
④当1＜a＜2时，函数y=f（x）-a有4个零点．
其中真命题的个数是（ ）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个

三、解答题

21. 难度：中等

已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=-3^x，则f（2）=    ．

22. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，已知a₁=2，a₂+a₃=13，则a₄+a₅+a₆等于=    ．

23. 难度：中等

在集合A={2，3}中随机取一个元素m，在集合B={1，2，3}中随机取一个元素n，得到点P（m，n），则点P在圆
x²+y²=9内部的概率为    ．

24. 难度：中等

已知抛物线y²=4x的弦AB的中点的横坐标为2，则|AB|的最大值为    ．