2012年广东省华南师大附中高三综合测试数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U=R，则正确表示集合M={-1，0，1}和N={x|x²+x=0}关系的韦恩（Venn）图是（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调增加，则满足f（2x-1）＜的x取值范围是（ ）
A．（，）
B．[，）
C．（，）
D．[，）

3. 难度：中等

设a=lge，b=（lge）²，c=lg，则（ ）
A．a＞b＞c
B．a＞c＞b
C．c＞a＞b
D．c＞b＞a

4. 难度：中等

若函数y=f（x）的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

曲线y=sinx，y=cosx与直线x=0，所围成的平面区域的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，）的图象如图所示，为了得到y=cos2x的图象，则只要将f（x）的图象（ ）
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度

7. 难度：中等

定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，则f（2011）的值为（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．2

8. 难度：中等

若定义在R上的减函数y=f（x），对任意的a，b∈R，不等式f（a²-2a）≤f（b²-2b）成立，则当1≤a≤4时，的取值范围是（ ）
A．[-，1）
B．[-，1]
C．[-，1]
D．（-，1]

二、解答题

9. 难度：中等

sin（）=    ．

10. 难度：中等

已知，则tanα=    ．

11. 难度：中等

在△ABC中，用a、b、c和A、B、C分别表示它的三条边和三条边所对的角，若a=2，b=，A=，则角B=    ．

12. 难度：中等

对a，b∈R，记max（a，b）=，函数f（x）=max（|x+1|，-x²+1）的最小值是    ．

13. 难度：中等

已知函数f（x）=x+2^x，g（x）=x+lnx的零点分别为x₁，x₂，则x₁，x₂的大小关系是    ．

14. 难度：中等

已知函数f（x）在R上满足f（x）=2f（2-x）-x²+8x-8，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是     ．

15. 难度：中等

已知函数f（x）=的定义域集合是A，函数g（x）=lg[（x-a）（x-a-1）]的定义域集合是B．
（1）求集合A、B；
（2）若A∩B=A，求实数a的取值范围．

16. 难度：中等

已知函数f（x）=sin²x+2sin（x+）cos（x-）-cos²x-．
（1）求函数f（x）的最小正周期和最值；
（2）求函数f（x）的单调递减区间．

17. 难度：中等

某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润分别是P（亿元）和Q（亿元），它们与投资额t（亿元）的关系有经验公式P=，Q=t．今该公司将5亿元投资这两个项目，其中对甲项目投资x（亿元），投资这两个项目所获得的总利润为y（亿元）．求：
（1）y关于x的函数表达式；
（2）总利润的最大值．

18. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a．b．c，且，，BC边上中线AM的长为．
（Ⅰ）求角A和角B的大小；
（Ⅱ）求△ABC的面积．

19. 难度：中等

已知函数
（Ⅰ）求f（x）在[-1，e]（e为自然对数的底数）上的最大值；
（Ⅱ）对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上是否存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？

20. 难度：中等

设函数f（x）=xsinx（x∈R）．
（Ⅰ）证明f（x+2kπ）-f（x）=2kπsinx，其中为k为整数；
（Ⅱ）设x为f（x）的一个极值点，证明[f（x）]²=；
（Ⅲ）设f（x）在（0，+∞）内的全部极值点按从小到大的顺序排列a₁，a₂，…，a_n，…，
证明＜a_n+1-a_n＜π（n=1，2，…）．