2012年甘肃省张掖市高三4月诊断数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数z=的共轭复数是（ ）
A．1+i
B．-1-i
C．1-i
D．-1+i

2. 难度：中等

已知函数y=f（x）的图象与函数y=2^x+1（x＞0）的图象关于直线y=x对称，则（ ）
A．f（x）=log₂x-1（x＞2）
B．f（x）=log₂x-1（x＞0）
C．f（x）=log₂（x-1）（x＞2）
D．f（x）=log₂（x-1）（x＞0）

3. 难度：中等

已知S_n是等差数列{a_n}的前n项和，且S₁₀₀₈=4+S₁₀₀₄，则S₂₀₁₂的值为（ ）
A．2010
B．2011
C．2012
D．2013

4. 难度：中等

已知函数f（x）=2cos（ωx+φ）（ω＞0且0＜φ≤π）为奇函数，其图象与x轴的所有交点中最近的两交点间的距离为π，则f（x）的一个单调递增区间为（ ）
A．
B．[0，π]
C．
D．[π，2π]

5. 难度：中等

在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若AB=AA₁=4，点D是AA₁的中点，则点A₁到平面DBC₁的距离是（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

函数f（x）=x²+bx的图象在点A（1，f（1））处的切线与直线3x-y+2=0平行，若数列{}的前n项和为S_n，则S₂₀₁₂的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知△OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形，若，且λ²＞1，则的取值范围是（ ）
A．（-∞，0）∪（2，+∞）
B．（-∞，-2）∪（0，+∞）
C．
D．

8. 难度：中等

已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，A₁D与BC₁所成的角为，则BC₁与平面BB₁D₁D所成角的正弦值为（ ）

A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

在2010年某大学的小语种提前招生考试中，某中学共获得了5个推荐名额，其中俄语2名，日语2名，西班牙语1名，并且日语和俄语都要求必须有男生参加考试．学校通过选拔定下3男2女五个推荐对象，则不同的推荐方案共有（ ）种．
A．20
B．22
C．24
D．36

10. 难度：中等

设实数x，y满足 ，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

已知三棱锥V-ABC中，VA=3，VB=4，VC=，点E为侧棱VC上的一点，VA⊥BE，且顶点V在底面ABC上的射影为底面的垂心．如果球O是三棱锥V-ABC的外接球，则V，A两点的球面距离是（ ）
A．2π
B．
C．π
D．

12. 难度：中等

定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）+f（1-x）=1，，且当0≤x₁＜x₂≤1时，有f（x₁）≤f（x₂），则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

13. 难度：中等

二项式展开式中含x²项的系数是    ．

14. 难度：中等

已知是第三象限角，则    ．

15. 难度：中等

已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|=4|OF|，△MFO的面积为，则该抛物线的方程为    ．

16. 难度：中等

双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，P为双曲线右支上-点，PF₂与圆x²+y²=b²切于点G，且G为PF₂的中点，则该双曲线的离心率e=    ．

17. 难度：中等

在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．且．
（1）求角A的大小及角B的取值范围；
（2）若，求b²+c²的取值范围．

18. 难度：中等

某大学对参加了“世博会”的该校志愿者实施“社会教育实践”学分考核，因该批志愿者表现良好，该大学决定考核只有合格和优秀两个等次，若某志愿者考核为合格，授予0.5个学分；考核为优秀，授予1个学分．假设该校志愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为、、，他们考核所得的等次相互独立．
（Ⅰ）求在这次考核中，志愿者甲、乙、两三人中至少有一名考核为优秀的概率；
（Ⅱ）记这这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．

19. 难度：中等

如图，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，E是棱CC₁上的动点，F是AB的中点，AC=BC=2，AA₁=4．
（1）当E是棱CC₁的中点时，求证：CF∥平面AEB₁；
（2）在棱CC₁上是否存在点E，使得二面角A-EB₁-B的大小是45°？若存在，求出CE的长，若不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

已知{b_n}是公比大于1的等比数列，它的前n项和为S_n，若S₃=14，b₁+8，3b₂，b₃+6成等差数列，且a₁=1，a_n=b_n•（）（n≥2）．
（1）求b_n；
（2）证明：（1+）（1+）…（1+）＜e³（其中e为自然对数的底数）．

21. 难度：中等

已知椭圆C：的左、右焦点分别为F₁，F₂，它的一条准线为x=4，过点F₂的直线与椭圆C交于P、Q两点．当PQ与x轴垂直时，．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若，求△PF₁Q的内切圆面积最大时正实数λ的值．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+（ae-4）x+2lnx，g（x）=ax（2-lnx）（其中e为自然对数的底数，常数a≠0）．
（1）若对任意x＞0，g（x）≤1恒成立，求正实数a的取值范围；
（2）在（1）的条件下，当a取最大值时，试讨论函数f（x）在区间[，e]上的单调性；
（3）求证：对任意的n∈N^*，不等式lnn³-n²+成立．