2011-2012学年江苏省苏北四市高三第三次质量检测数学试卷（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2}，B={3，4}，则∁_U（A∪B）=    ．

2. 难度：中等

若（1-2i）（x+i）=4-3i（i是虚数单位），则实数x为    ．

3. 难度：中等

某单位招聘员工，有200名应聘者参加笔试，随机抽查了其中20名应聘者笔试试卷，统计他们的成绩如下表：

分数段	[60，65）	[65，70）	[70，75）	[75，80）	[80，85）	[85，90）	[90，95）
人数	1	3	6	6	2	1	1

若按笔试成绩择优录取40名参加面试，由此可预测参加面试的分数线为    分．

4. 难度：中等

已知一个算法的伪代码如图所示，则输出的结果为    ．

5. 难度：中等

若实数m，n∈{-1，1，2，3}，m≠n，则方程表示的曲线是焦点在x轴上的双曲线概率为    ．

6. 难度：中等

已知向量=    ．

7. 难度：中等

设S_n是公差不为零的等差数列{a_n}的前n项和，若a₁=20，且a₂，a₅，a₇成等比数列，则S₁₀=    ．

8. 难度：中等

曲线在x=1处的切线与直线x+by+1=0垂直，则实数b的值为    ．

9. 难度：中等

若函数，在区间上是单调减函数，且函数值从1减少到-1，则=    ．

10. 难度：中等

如图，△ABC是边长为的等边三角形，P是以C为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则的取值范围是    ．

11. 难度：中等

已知长方体的长，宽，高为5，4，3，若用一个平面将此长方体截成两个三棱柱，则这两个三棱柱表面积之和的最大为    ．

12. 难度：中等

已知函数则满足不等式f（f（x））＞1的x的取值范围是    ．

13. 难度：中等

在平面直角坐标系中，不等式组表示的区域为M，t≤x≤t+1表示的区域为N，若1＜t＜2，则M与N公共部分面积的最大值为    ．

14. 难度：中等

已知直线y=x与函数和图象交于点Q，P、M分别是直线y=x与函数的图象上异于点Q的两点，若对于任意点M，PM≥PQ恒成立，则点P横坐标的取值范围是    ．

15. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知∠ACB=90°，M为A₁B与AB₁的交点，N为棱B₁C₁的中点．
（1）求证：MN∥平面AA₁C₁C；
（2）若AC=AA₁，求证：MN⊥平面A₁BC．

16. 难度：中等

△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c且满足（2a-c）cosB=bcosC．
（1）求角B的大小；
（2）若△ABC的面积为为，求a+c的值．

17. 难度：中等

在一个半径为1的半球材料中截取三个高度均为h的圆柱，其轴截面如图所示，设三个圆柱体积之和为V=f（h）．
（1）求f（h）的表达式，并写出h的取值范围是；
（2）求三个圆柱体积之和V的最大值．

18. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系xoy中，圆C：（x+1）²+y²=16，点F（1，0），E是圆C上的一个动点，EF的垂直平分线PQ与CE交于点B，与EF交于点D．
（1）求点B的轨迹方程；
（2）当D位于y轴的正半轴上时，求直线PQ的方程；
（3）若G是圆上的另一个动点，且满足FG⊥FE．记线段EG的中点为M，试判断线段OM的长度是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+2ax+1（a∈R），f′（x）是f（x）的导函数．
（1）若x∈[-2，-1]，不等式f（x）≤f′（x）恒成立，求a的取值范围；
（2）解关于x的方程f（x）=|f′（x）|；
（3）设函数，求g（x）在x∈[2，4]时的最小值．

20. 难度：中等

数列{a_n}的前n项和为S_n，存在常数A，B，C，使得对任意正整数n都成立．
（1）若数列{a_n}为等差数列，求证：3A-B+C=0；
（2）若，设b_n=a_n+n，数列{nb_n}的前n项和为T_n，求T_n；
（3）若C=0，{a_n}是首项为1的等差数列，设，求不超过P的最大整数的值．

21. 难度：中等

本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答，
若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4-1：几何证明选讲
如图，半径分别为R，r（R＞r＞0）的两圆⊙O，⊙O₁内切于点T，P是外圆⊙O上任意一点，连PT交⊙O₁于点M，PN与内圆⊙O₁相切，切点为N．求证：PN：PM为定值．
B．选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵M=
（1）求矩阵M的逆矩阵；
（2）求矩阵M的特征值及特征向量；
C．选修4-2：矩阵与变换
在平面直角坐标系x0y中，求圆C的参数方程为为参数r＞0），以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．若直线l与圆C相切，求r的值．
D．选修4-5：不等式选讲
已知实数a，b，c满足a＞b＞c，且a+b+c=1，a²+b²+c²=1，求证：．

22. 难度：中等

假定某人每次射击命中目标的概率均为，现在连续射击3次．
（1）求此人至少命中目标2次的概率；
（2）若此人前3次射击都没有命中目标，再补射一次后结束射击；否则．射击结束．记此人射击结束时命中目标的次数为X，求X的数学期望．

23. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a₁=2，且对任意n∈N^*，恒有na_n+1=2（n+1）a_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设区间中的整数个数为b_n，求数列{b_n}的通项公式．