2012年北京市丰台区高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x|x²≤9}，B={x|x＜1}，则A∩B=（ ）
A．{x|x≤3}
B．{x|-3＜x＜1}
C．{x|-3≤x＜1}
D．{x|-3≤x≤3}

2. 难度：中等

设a=0.6^4.2，b=7^0.6，c=log_0.67，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．c＜b＜a
B．c＜a＜b
C．a＜c＜b
D．a＜b＜c

3. 难度：中等

若变量x，y满足约束条件，则z=3x+5y的取值范围是（ ）
A．[3，+∞）
B．[-8，3]
C．（-∞，9]
D．[-8，9]

4. 难度：中等

若某空间几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图的下边长都是2，则该几何体的体积（ ）

A．20-2π
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知向量，，若，则实数m等于（ ）
A．-5
B．
C．0
D．5

6. 难度：中等

若函数则“a=1”是“函数y=f（x）在R上单调递减”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

7. 难度：中等

设S_n为等比数列{a_n}的前n项和，若a₁=1，且2a₂，S₃，a₄+2成等差数列，则数列的前5项和为（ ）
A．341
B．
C．1023
D．1024

8. 难度：中等

已知定义在R上的函数y=f（x）满足f（x+2）=f（x），当-1＜x≤1时，f（x）=x³．若函数g（x）=f（x）-log_a|x|至少有6个零点，则a的取值范围是（ ）
A．（1，5）
B．
C．
D．

二、解答题

9. 难度：中等

在复平面内，复数对应的点的坐标为    ．

10. 难度：中等

已知抛物线y²=8x上一点P到焦点的距离是6，则点P的坐标是    ．

11. 难度：中等

已知函数在x=a时取到最小值，则a=    ．

12. 难度：中等

为了了解学生的视力情况，随机抽查了一批学生的视力，将抽查结果绘制成频率分布直方图（如图所示）．若在[5.0，5.4]内的学生人数是2，则根据图中数据可得被抽查的学生总数是    ；样本数据在[3.8，4.2）内的频率是    ．

13. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，若输出的n的值为10，则a=    ．

14. 难度：中等

定义在区间[a，b]上的连续函数y=f（x），如果∃ξ∈[a，b]，使得f（b）-f（a）=f'（ξ）（b-a），则称ξ为区间[a，b]上的“中值点”．下列函数：
①f（x）=3x+2；   ②f（x）=x²-x+1；   ③f（x）=ln（x+1）；   ④
在区间[0，1]上“中值点”多于一个的函数序号为    ．（写出所有满足条件的函数的序号）

15. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinB-bcosC=ccosB．
（Ⅰ）判断△ABC的形状；
（Ⅱ）若f（x）=sinx+cosx，求f（A）的最大值．

16. 难度：中等

对某校全体教师在教学中是否经常使用信息技术实施教学的情况进行了调查，得到统计数据如下：

教师教龄	5年以下	5至10年	10至20年	20年以上
教师人数	8	10	30	18
经常使用信息技术实施教学的人数	2	4	10	4

（Ⅰ）求该校教师在教学中不经常使用信息技术实施教学的概率；
（Ⅱ）在教龄10年以下，且经常使用信息技术实施教学的教师中任选2人，其中恰有一人教龄在5年以下的概率是多少？

17. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA=PD，∠BAD=60°，E是AD的中点，点Q在侧棱PC上．
（Ⅰ）求证：AD⊥平面PBE；
（Ⅱ）若Q是PC的中点，求证：PA∥平面BDQ；
（Ⅲ）若V_P-BCDE=2V_Q-ABCD，试求的值．

18. 难度：中等

已知函数（a∈R）．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线x+y+1=0平行，求a的值；
（Ⅱ）若a＞0，函数y=f（x）在区间（a，a ²-3）上存在极值，求a的取值范围；
（Ⅲ）若a＞2，求证：函数y=f（x）在（0，2）上恰有一个零点．

19. 难度：中等

已知椭圆C：的离心率为，且经过点M（-2，0）．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设斜率为1的直线l与椭圆C相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，连接MA，MB并延长交直线x=4于P，Q两点，设y_P，y_Q分别为点P，Q的纵坐标，且．求△ABM的面积．

20. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且．数列{b_n}满足b₁=2，b_n+1-2b_n=8a_n．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明：数列为等差数列，并求{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）设数列{b_n}的前n项和为T_n，是否存在常数λ，使得不等式（n∈N^*）恒成立？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由．