2011-2012学年广东省实验中学高三（下）第一次综合测试数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x∈R|x＜5-}，B={1，2，3，4}，则（∁_RA）∩B等于（ ）
A．{1，2，3，4}
B．{2，3，4}
C．{3，4}
D．{4}

2. 难度：中等

已知函数①y=sinx+cosx，②，则下列结论正确的是（ ）
A．两个函数的图象均关于点成中心对称
B．两个函数的图象均关于直线成中心对称
C．两个函数在区间上都是单调递增函数
D．两个函数的最小正周期相同

3. 难度：中等

设（ ）
A．
B．
C．
D．不存在

4. 难度：中等

一个三棱柱的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，它的三视图及其尺寸如下（单位cm），则该三棱柱的表面积为（ ）

A．（24+8）cm²
B．24πcm²
C．cm²
D．cm²

5. 难度：中等

下列四个命题中，正确的是（ ）
A．已知ξ服从正态分布N（0，²），且P（-2≤ξ≤0）=0.4，则P（ξ＞2）=0.2
B．设回归直线方程为y=2-2.5x，当变量x增加一个单位时，y平均增加2个单位
C．已知命题p：∃x∈R，tanx=1；命题q：∀x∈R，x²-x+1＞0．则命题“p∧￢q”是假命题
D．已知直线l₁：ax+3y-1=0，l₂：x+by+1=0，则l₁⊥l₂的充要条件是=-3

6. 难度：中等

给出30个数：1，2，4，7，…其规律是
第1个数是1；
第2个数比第1个数大1；
第3个数比第2个数大2；
第4个数比第3个数大3；…
以此类推，要计算这30个数的和，现已给出了该问题的程序框图如图所示，那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填入（ ）

A．i≤29；p=p+i+1
B．i≤30；p=p+i-1
C．i≤30；p=p+i
D．i≤31；p=p+i

7. 难度：中等

已知k∈Z，，若，则△ABC是直角三角形的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

设函数f（x）的定义域为R，若存在常数M＞0使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，则称函数f（x）为F函数．现给出下列函数①f（x）=x²，②f（x）=③f（x）=x（1-2^x），④f（x）是定义在实数集R上的奇函数，且对一切x₁x₂均有|f（x₁）-f（x₂）|≤2|x₁-x₂|．其中是F函数的序号为（ ）
A．①②③
B．②④
C．②③
D．③④

二、解答题

9. 难度：中等

i是虚数单位，的共轭复数是    ．

10. 难度：中等

若实数x，y满足则s=y-x的最小值为    ．

11. 难度：中等

已知ⁿ展开式的第4项为常数项，则展开式中各项系数的和为    ．

12. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²-7n，且满足16＜a_k+a_k+1＜22，则正整数k=    ．

13. 难度：中等

已知函数f（x）=-alnx（a∈R），若函数f（x）在[1，2]为增函数，且f′（x）在[1，2]上存在零点（f′（x）为f（x）的导函数），则a的值为    ．

14. 难度：中等

已知曲C的极坐标方程ρ=2sinθ，设直线L的参数方程，（t为参数）设直线L与x轴的交点M，N是曲线C上一动点，求|MN|的最大值    ．

15. 难度：中等

（几何证明选讲选做题）如图，⊙O中，直径AB和弦DE互相垂直，C是DE延长线上一点，连接BC与圆0交于F，若∠CFE=α（），则∠DEB    ．

16. 难度：中等

已知函数f（x）2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为π，且f（）=．
（1）求ω，φ的值；
（2）若f（）=-（0＜α＜π），求cos2α的值．

17. 难度：中等

如图，P-AD-C是直二面角，四边形ABCD是∠BAD=120°的菱形，AB=2，PA⊥AD，E是CD的中点，设PC与平面ABCD所成的角为45°．
（1）求证：平面PAE⊥平面PCD；
（2）试问在线段AB（不包括端点）上是否存在一点F，使得二面角A-PE-D的大小为45？若存在，请求出AF的长，若不存在，请说明理由．

18. 难度：中等

某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．
（1）求合唱团学生参加活动的人均次数；
（2）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．
（3）从合唱团中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．

19. 难度：中等

已知过点A（0，4）的直线l与以F为焦点的抛物线C：x²=py相切于点T（-4，y_o）；中心在坐标原点，一个焦点为F的椭圆与直线l有公共点．
（1）求直线l的方程和焦点F的坐标；
（2）求当椭圆的离心率最大时椭圆的方程；
（3）设点M（x₁，y_l）是抛物线C上任意一点，D（0，-2）为定点，是否存在垂直于y轴的直线l′被以MD为直径的圆截得的弦长为定值？请说明理由．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+ax²-bx+1（x∈R，a，b为实数）有极值，且在x=1处的切线与直线x-y+1=0平行．
（1）求实数a的取值范围；
（2）是否存在实数a，使得函数f（x）的极小值为1，若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由；
（3）设a=令g（x）=-3，x∈（0，+∞），求证：gⁿ（x）-xⁿ-≥2ⁿ-2（n∈N₊）．

21. 难度：中等

已知a为实数，数列{a_n}满足a₁=a，当n≥2时，，
（Ⅰ）当a=100，时，求数列{a_n}的前100项的和S₁₀₀；
（Ⅱ）证明：对于数列{a_n}，一定存在k∈N^*，使0＜a_k≤3；
（Ⅲ）令，当2＜a＜3时，求证：．