2012年湖南省高考数学压轴卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x∈R|x＜5-}，B={1，2，3，4}，则（∁_RA）∩B等于（ ）
A．{1，2，3，4}
B．{2，3，4}
C．{3，4}
D．{4}

2. 难度：中等

=（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

设（ ）
A．
B．
C．
D．不存在

4. 难度：中等

一个三棱柱的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，它的三视图及其尺寸如下（单位cm），则该三棱柱的表面积为（ ）

A．（24+8）cm²
B．24πcm²
C．cm²
D．cm²

5. 难度：中等

下列四个命题中，正确的是（ ）
A．已知ξ服从正态分布N（0，²），且P（-2≤ξ≤0）=0.4，则P（ξ＞2）=0.2
B．设回归直线方程为y=2-2.5x，当变量x增加一个单位时，y平均增加2个单位
C．已知命题p：∃x∈R，tanx=1；命题q：∀x∈R，x²-x+1＞0．则命题“p∧￢q”是假命题
D．已知直线l₁：ax+3y-1=0，l₂：x+by+1=0，则l₁⊥l₂的充要条件是=-3

6. 难度：中等

给出30个数：1，2，4，7，…其规律是
第1个数是1；
第2个数比第1个数大1；
第3个数比第2个数大2；
第4个数比第3个数大3；…
以此类推，要计算这30个数的和，现已给出了该问题的程序框图如图所示，那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填入（ ）

A．i≤29；p=p+i+1
B．i≤30；p=p+i-1
C．i≤30；p=p+i
D．i≤31；p=p+i

7. 难度：中等

已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且在[0，1]上递增，记，b=f（2），c=f（3），则a，b，c的大小关系为（ ）
A．c＞a＞b
B．c＞b＞a
C．b＞c＞a
D．a＞c＞b

8. 难度：中等

已知，直线l：y=kx+2k与曲线C：有两个不同的交点，设直线l与曲线C围成的封闭区域为P，在区域M内随机取一点A，点A落在区域P内的概率为p，若，则实数k的取值范围为（ ）
A．
B．[0，1]
C．
D．

二、解答题

9. 难度：中等

已知曲C的极坐标方程ρ=2sinθ，设直线L的参数方程，（t为参数）设直线L与x轴的交点M，N是曲线C上一动点，求|MN|的最大值    ．

10. 难度：中等

（几何证明选讲选做题）如图，⊙O中，直径AB和弦DE互相垂直，C是DE延长线上一点，连接BC与圆0交于F，若∠CFE=α（），则∠DEB    ．

11. 难度：中等

若，则x²+y²+z²的最小值为    ．

12. 难度：中等

i是虚数单位，的共轭复数是    ．

13. 难度：中等

若实数x，y满足则s=y-x的最小值为    ．

14. 难度：中等

已知ⁿ展开式的第4项为常数项，则展开式中各项系数的和为    ．

15. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²-7n，且满足16＜a_k+a_k+1＜22，则正整数k=    ．

16. 难度：中等

如果一个正四位数的千位数a、百位数b、十位数c和个位数d满足关系（a-b）（c-d）＜0，则称其为“彩虹四位数”，例如2012就是一个“彩虹四位数”．那么，正四位数中“彩虹四位数”的个数为    ．（直接用数字作答）

17. 难度：中等

已知函数f（x）2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为π，且f（）=．
（1）求ω，φ的值；
（2）若f（）=-（0＜α＜π），求cos2α的值．

18. 难度：中等

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC=CC₁=AB=2，AB⊥BC．点M，N分别是CC₁，B₁C的中点，G是棱AB上的动点．
（I）求证：B₁C⊥平面BNG；
（II）若CG∥平面AB₁M，试确定G点的位置，并给出证明；
（III）求二面角M-AB₁-B的余弦值．

19. 难度：中等

某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．
（1）求合唱团学生参加活动的人均次数；
（2）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．
（3）从合唱团中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．

20. 难度：中等

设椭圆C₁：的左、右焦点分别是F₁、F₂，下顶点为A，线段OA的中点为B（O为坐标原点），如图．若抛物线C₂：y=x²-1与y轴的交点为B，且经过F₁，F₂点．
（Ⅰ）求椭圆C₁的方程；
（Ⅱ）设M（0，），N为抛物线C₂上的一动点，过点N作抛物线C₂的切线交椭圆C₁于P、Q两点，求△MPQ面积的最大值．

21. 难度：中等

过点P（1，0）作曲线C：y=x³（x∈（0，+∞））的切线，切点为Q₁，过Q₁作x轴的垂线交x轴于点P₁，又过P₁作曲线C的切线，切点为Q₂，过Q₂作x轴的垂线交x轴于点P₂，…，依次下去得到一系列点Q₁，Q₂，Q₃，…，设点Q_n的横坐标为a_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）①求和；
②求证：．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx--bx（a≠0）．
（I） 若b=2，且y=f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；
（II）若函数y=f（x）的图象与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x，证明：f′（x）＜0．